正视图侧视图俯视图1 2 52 23 5 6 31（第4题）【考试时间：2014年1月12日上午8:30——10:10，共100分钟】云南省2014年1月普通高中学业水平考试数学试卷选择题（共51分）一、选择题：本大题共17个小题，每小题3分，共51分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂。

1. 设集合{}1,2,3M =，{}1N =，则下列关系正确的是( )A.N M ∈B. N M ∉C. N M =D. N M ≠⊂2. 有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.圆柱3. 已知向量=(1,0)OA u u r ，=(1,1)OB u u u r，则AB uuu r 等于( )A.1C.2D.4.A.2B.3C.22D.23 5.函数1+=x y 的零点是( )A.0B.1-C. )0,0( D ．)0,1(- 6.已知一个算法，其流程图右图，则输出的结果是( )A.10B.11C.8D.9 7.在ABC ∆中，M 是BC 的重点，则+等于( )A.21B. C. 2 D ． 8.如图 ，在边长为2的正方形内有一内切圆，现从正方形内取一点P ，则点P 在圆内的概率为( )A.44π- B. π4 C. 4πD. π 9.下列函数中，以2π为最小正周期的是( ) A. 2sinxy = B. x y sin = C. x y 2sin = D ．x y 4sin = 10. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若︒=135A ,︒=30B ,2=a ,则b 等于( )A.1B.2C.3 D.211.同时抛投两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币均正面向上的概率为( )A.41 B. 21 C. 43D. 1 12.直线210x y -+=与直线12(1)y x -=+的位置关系是( )A.平行B. 垂直C. 相交但不垂直D.重合 13.不等式(3)0x x -<的解集是( )A.{}|0x x <B. {}|3x x <C. {}|03x x <<D. {}|03x x x <>或 14.已知5432()1f x x x x x x =+++++，用秦九韶算法计算(3)f 的值时，首先计算的最内层括号内一次多项式1v 的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 15. 已知函数3()f x x =-，则下列说法中正确的是( )A. ()f x 为奇函数，且在()0,+∞上是增函数B. ()f x 为奇函数，且在()0,+∞上是减函数C. ()f x 为偶函数，且在()0,+∞上是增函数D. ()f x 为偶函数，且在()0,+∞上是减函数16. 已知数列{}n a 是公比为实数的等比数列，且11a =，59a =，则3a 等于( )A.2B. 3C. 4D. 517.已知直线l 过点P ，圆C :224x y +=，则直线l 与圆C 的位置关系是( ) A.相交 B . 相切 C.相交或相切 D.相离S A C BFE 非选择题（共49分）二、 填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分。

请把答案写在答题卡相应的位置上。

18.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n = 。

19.直线10x y ++=的纵截距是 。

20.化简sin()x π-= 。

21. 若实数x ,y 满足约束条件：12220x y x y ì£ïïï£íïï+-?ïïî，则2z x y =+的最大值等于 。

22.函数22log xy x =+在区间[]1,4上的最大值是 。

三、解答题：本大题共4小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23. （本小题满分8分）已知函数22()cos sin f x x x =-.（1）求()4f p 的值及()f x 的最大值；（2）求()f x 的递减区间。

24. （本小题满分8分）如图所示，在三棱锥P -ABC 中，E 、F 分别为AC 、BC 的中点。

（1）证明：//EF PAB 平面;（2）若PA PB =，CA CB =,求证：AB PC ⊥。

25. （本小题满分8分）某商场的一种商品每件进价为10元，据调查知每日销售量m （件）与销售单价x （元）之间的函数关系为70m x =-，1070x ≤≤。

设该商场日销售这种商品的利润为y （元）。

（单件利润=销售单价-进价；日销售利润=单件利润⨯日销售量） （1）求函数()y f x =的解析式；（2）求该商场销售这种商品的日销售利润的最大值。

26. （本小题满分10分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2*1(1)().4n n S a n N =+∈ （1）求1a 、2a ；（2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）令19n n b a =-，问数列{}n b 的前多少项的和最小？最小值是多少？云南省2014年1月普通高中学业水平考试数学参考答案23.（1）22()cos sin cos 2f x x x x =-=∴()cos 042f p p==；()f x 的最大值为1。

………………………………………………4分（2）由222()k x k k Z πππ≤≤+∈ 得,2k x k k Z πππ≤≤+∈()f x ∴的递减区间是72,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ …………………………………8分24(1)Q E 、F 分别是AC 、BC 的中点,∴EF//AB, ………………………………………………………………………………1分又EF ⊄平面P AB ，…………………………………………………………………2分AB ⊂平面P AB ，………………………………………………………………………3分∴ EF//平面P AB …………………………………………………………………………4分（2）取的中点O ，连结OP 、OC,Q P A=PB ，∴AB OP ⊥;………………………………………………………5分又Q CA=CB ，∴AB OC ⊥;……………………………………………………6分又Q OP OC O ⋂=,∴AB POC ⊥平面;…………………………………………7分又Q PC POC ⊂平面,∴ AB ⊥PC. ……………………………………………8分25.解：(1) 2()(10)(70)(10)80700(1070)y f x m x x x x x x ==-=--=-+-≤≤….4分（2）2280700(40)900y x x x =-+-=--+…………………………………………6分当40x =时，900y 有最大值。

……………………………………………………7分所以，该商场销售这种商品的日销售利润的最大值为900元.………………8分26.解：（1）由已知条件得：21111(1). 1.4a a a =+∴= 又有22122221(1).-2304a a a a a +=+-=即，解得221()=3a a =-舍或（2）由21(1)4n n S a =+得2-1-112(1)4n n n S a ≥=+时：2222-1-1-1-111-[(1)(1)][2()]44n n n n n n n n S S a a a a a a ∴=+-+=-+-即22-1-1422n n n n n a a a a a =-+- ，22-1-1220n n n n a a a a ∴---=-1-1()(2)0n n n n a a a a ∴+--=，-1-120=2n n n n a a a a ∴--=-≥即（n 2）。

所以数列{}n a 是公差为2的等差数列。

（3）由（2）知12(1)21n a n n =+-=-。

19220n n b a n ∴=-=-。

易知数列{}n b 是公差为2，首项为18-的等差数列。

所以数列{}n b 的前n 项的和2221()(18220)191919()()2222n n n b b n n T n n n +-+-===-=-- 当910n n ==或时n T 有最小值90-。

即数列{}n b 的前9项的和以及前10项的和最小值是-90。

另解：19220,n n b a n =-=-Q 注意到数列{}n b 是公差为2的递增等差数列，且100,b =，故数列{}n b 的前9项的和以及前10项的和最小值是-90。