很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
这样，根据函数解析式与方程之间的关系，也就得出了函数2252y x x =-+与x 轴的两个交点1(,0)2和(2,0)。
有了与横坐标两个交点的坐标，还知道了开口方向（二次项前面的系数20>，所以开口向上），则该二次函数的大致图像就容易作出了。
以上的结论可不可以进一步推广呢先看接下来这个函数解析式(1)(2)(3)y x x x =+++，如果作这样一个三次函数（三次或三次以上就叫高次函数）的图像，用列表、描点、连线的方法是非常复杂的，甚至无法作出。
如果我们采用上面的思想，先求出(1)(2)(3)y x x x =+++对应的方程(1)(2)(3)0x x x +++=的根，很容易得出该方程的三个根：12--、、-3。
知道了三个根还不行，还必须知道开口方向，由于三次函数和二次函数不同，所以不可能通过三次项系数的正负来确定开口方向。
在实际中，我们可以发现这样的规律：如果三次项系数是正数、最右边一个交点的右边部分图像是在x 轴上面的。
如果三次项系数是负数，最右边一个交点的右边部分图像是在x 轴下面的。
那么函数(1)(2)(3)y x x x =+++的大致图像如下：函数(1)(2)(3)y x x x =-+++的大致图像如下：通过以上函数图象：我们可以总结出作高次函数大致图像的步骤：（1） 求出高次函数所对应的方程的根，并在数轴上（不需要建立坐标系）从小到大依次表示出来。
（2） 如果最高次项的系数是正数，则按照从右到左，从上到下依次穿过。
如果最高次数的系数是负数，则按照从右到左，从下到上依次穿过。
★ 函数与不等式之间的关系函数解析式：(0)y ax b a =+≠中，如果变为0ax b +>（≥的情况类似）或0ax b +<（≤的情况类似），那么就是不等式了。
实际上，以上两个不等式分别对应一次函数(0)y ax b a =+≠的图像在x 轴上方和x 下方的情况。
而不等式0ax b +>和0ax b +<的解分别是一次函数(0)y ax b a =+≠的图像上方部分对应的自变量x 的范围和下方部分对应的自变量x 的范围。
例如不等式230x ->所对应的是一次函数23y x =-在x 轴上方部分的图像。
该不等式的解为23y x =-在x 轴上方部分的图像 所对应的自变量x 的范围，即32x >。
在二次函数中，这种不等式和函数的对应 关系同样适用。
例如：2252y x x =-+ 的图像如右图所示：不等式22520x x -+>的解为二次函数2252y x x =-+图像上在x 轴上方的部分，不等式的解为：12x <或2x >。
同理 22520x x -+<的解为122x <<。
这也就是二次不等式“二次项的系数大于零， 后面是大于号的取两边（即小于最小根， 大于最大根），后面是小于号的取中间（大于最小根，小于最大根）”的性质。
对于二次项系数小于零的不等式，可以通过在两边同时乘以-1将二次项系数变为正数。
从上面的现象可以得出函数和不等式的关系：不等式()0f x >对应的是函数()f x 图像上在x 轴上方的部分，不等式()0f x >的解就是函数()f x 图像上在x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围。
不等式()0f x <对应的是函数()f x 图像上在x 轴下方的部分，不等式()0f x <的解就是函数()f x 图像上在x 轴下方的部分所对应的自变量x 的取值范围。
对于多次不等式，例如(1)(2)(3)0x x x +++<，首先在数轴上作出函数(1)(2)(3)y x x x =+++的大致图像（前面已介绍），然后取图像在x 轴上方部分对应的x 的取值范围。
所以不等式(1)(2)(3)0x x x +++<的解为3x <-或21x -<<-。
同理也可以解(4)N N ≥次不等式。
★ 一元二次方程和一元二次不等式的关系如果将一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中的“=”改为“＞”或“＜”，则可变为一元二次不等式。
解一元二次不等式的步骤： 1、 二次项为负数的，首先要在两边同时乘以-1将二次项系数变为正数（注意不等式两边同时乘以一个负数后，不等号要变号）。
如22520x x -+->要通过两边同乘以-1变为22520x x -+<。
2、 解出不等式对应的方程的两个根。
如解出方程22520x x -+<的两根分别为12,2。
3、 如果是大于号，解为：x <最小根或x >最大根。
如果是小于号，解为：最小根x <<最大根。
例如22520x x -+<的解为：122x <<。
★ 一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系在图像上的表示在实际中，我们经常会遇到这样的方程：210x x ++=或这样的不等式：210x x ++<。
结果是都是无解。
也会遇到210x x ++>，解为全体实数。
这就说明一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式在图像上还存在着某种明显的关系。
我们分别作出函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的六种可能图像。
第一种：当20,40a b ac >∆=->时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有两个交点，也就是说方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根（设为12,x x ，且12x x <），20ax bx c ++<的解为：12x x x <<，20ax bx c ++>的解为：1x x <或2x x >。
所以可以得出这样的结论：当20,40a b ac >∆=->时，方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根（设为12,x x ，且12x x <），20ax bx c ++<的解为：12x x x <<，20ax bx c ++>的解为：1x x <或2x x >。
第二种：当20,40a b ac >∆=-=时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有一个交点，也就是说方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根（设为12,x x ，且12x x =），20ax bx c ++<的解集为：∅，20ax bx c ++>的解为：1x x <或2x x >即1x x ≠。
所以可以得出这样的结论：当20,40a b ac >∆=-=时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根（设为12,x x ，且12x x =），20ax bx c ++<的解集为：∅，20ax bx c ++>的解为：1x x <或2x x >即1x x ≠。
第三种：当20,40a b ac >∆=-<时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴没有交点，也就是说方程20ax bx c ++=没有实数根，所以可以得出这样的结论：当20,40a b ac >∆=-<时，方程20ax bx c ++=无实数根；20ax bx c ++<的解为：∅，20ax bx c ++>的解为：R 。
第四种：当20,40a b ac <∆=->时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有两个交点，也就是说方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根（设为12,x x ，且12x x <），20ax bx c ++<的解为：1x x <或2x x >，20ax bx c ++>的解为：12x x x <<。
所以可以得出这样的结论：当20,40a b ac <∆=->时，方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根（设为12,x x ，且12x x <），20ax bx c ++<的解为：1x x <或2x x >，20ax bx c ++>的解为：12x x x <<。
第五种：当20,40a b ac <∆=-=时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有一个交点，也就是说方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根（设为12,x x ，且12x x =），20ax bx c ++<的解集为：1x x <或2x x >即1x x ≠，20ax bx c ++>的解为：∅。
所以可以得出这样的结论：当20,40a b ac <∆=-=时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根（设为12,x x ，且12x x =），20ax bx c ++<的解集为：1x x <或2x x >即1x x ≠，20ax bx c ++>的解为：∅。