方程、函数与不等式(含答案)不等式、方程与函数1．若不等式组1+x a2x 40>⎧⎨-≤⎩有解，则a 的取值范围是（ ）A ．a≤3B ．a ＜3C ．a ＜2D ．a≤22．若关于x 的分式方程2m x 21x 3x+-=-无解，则m 的值为（ ）A ．一l.5B ．1C ．一l.5或 2D ．一0.5或一l.53．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．图象关于直线x=1对称B ．函数ax 2+bx+c （a≠0）的最小值是﹣4C ．﹣1和3是方程ax 2+bx+c （a≠0）的两个根D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大 4．函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －3＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根5．函数()ay 1x <0x =-的图象如图，那么关于x 的分式方程a 12x -=-的解是（ ）A ．x=-1B ．x=-2C ．x=-3D ．x=-4 6．如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x =的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的函数关系式； (2)求△AOB 的面积； (3)则方程0=-+x m b kx 的解是 ；（请直接写出答案） (4)则不等式0<-+xm b kx 的解集是 .（请直接写出答案）7．已知二次函数2y a x b x c=++图象的顶点横坐标是4，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan tanCA BO2O C∠-∠=。

（1）求证：b8a0+=；（2）求a、b的值；（3）若二次函数图象与直线y2x3=+仅有一个交点时，求二次函数的最值。

8．已知：y关于x的函数()2y kx2k1x k3=-+++的图象与x轴有交点。

（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足()21212kx2k 1x k 34x x ++++=．①求k 的值；②当k 1x k 3+≤≤+时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值。

参考答案1．B 。

【解析】先求出不等式的解集，再不等式组有解根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）”即可得到关于a 的不等式，求出a 的取值范围即可： 由1+x a >得，x ＞a ﹣1；由2x 40-≤得，x≤2。

∵此不等式组有解，∴a ﹣1＜2，解得a ＜3。

故选B 。

2．D 。

【解析】方程两边都乘以x （x －3）得：（2m ＋x ）x －x （x －3）=2（x －3），即（2m ＋1）x=－6，①①∵当2m ＋1=0时，此方程无解，∴此时m=－0.5，②∵关于x 的分式方程2m x 21x 3x+-=-无解，∴x=0或x －3=0，即x=0，x=3。

当x=0时，代入①得：（2m ＋1）×0=－6，此方程无解；当x=3时，代入①得：（2m+1）×3=－6，解得：m=－1.5。

∴若关于x 的分式方程2m x 21x 3x+-=-无解，m 的值是－0.5或－1.5。

故选D 。

3．D ． 【解析】试题分析：A 、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意；B 、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，-4），又抛物线开口向上，所以函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的最小值是-4，正确，故本选项不符合题意；C 、由图象可知抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x 轴的另外一个交点为（3，0），则-1和3是方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意；D 、由抛物线的对称轴为x=1，所以当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，错误，故本选项符合题意． 故选D ．考点：二次函数的性质． 4．C 【解析】试题分析：根据图象可知：抛物线的的最大值是3，所以当y=3时，x=2b a-，所以方程ax 2＋bx ＋c=3有两个相等的实数根，即方程ax 2＋bx ＋c －3＝0有两个相等的实数根 ，故选：C. 考点：二次函数图象与一元二次方程的关系. 5．A 【解析】试题分析：根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，关于x 的分式方程a 12x -=-的解就是函数ay 1x=-中，纵坐标y=-2时的横坐标x 的值。

根据图象可以得到：当y=-2时，x=-1。

故选A 。

考点：反比例函数的图象，曲线上点的坐标与方程的关系，数形结合思想的应用。

6．（1）-----------1分，y=2--x -----------1分 （2）6=∆AOBs------2分（3）-4或2------2分(缺一全扣) （4）204><<-x x 或------2分(缺一全扣)【解析】（1）把(24)B -，代入中，得8-=m ，故反所以A 点坐标为（-4,2），把A 点、B 点坐标代入一次函数，解得2,1-=-=b k ， 故一次函数解析式为y=2--x 。

（2）C 点坐标为（-2,0），所以OC=2，△AOB 的面积（3数交点的横坐标，故为-4或2 （4值小于反比例函数的值，观察图像可知204><<-x x 或 7．（1）∵2y a x b x c =++图象的顶点横坐标是4，∴抛物线的对称轴为x=4，即b42a-=，化简得：b 8a 0+=。

（2）∵二次函数2y a xb x c=++与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1＜0＜x 2，∴OA=－x 1，OB=x 2；1212b c x x x x aa+=-⋅=，。

令x=0，得y=c ，∴C（0，c ），∴OC=|c|。

由三角函数定义得：112c c cOC OC tan CAO tan CBO OA x x OB x ∠===-∠==-，。

∵tan∠CAO－tan∠CBO=2，即12c c=2x x -- ，化简得：1212x x 1x x c+=-⋅。

将1212b cxx x x a a+=-⋅=， 代入得：b2a c c a-=-，化简得：cb 2c==±。

由（1）知b 8a 0+=，∴当b 2=时，1a 4=-；当b 2=-时，1a 4=。

∴a 、b 的值为：1a 4= ，b 2=-或1a 4=- ，b 2=。

（3）①由（2）知，当1a 4= ，b 2=-时，抛物线解析式为：21y x 2x c4=-+。

联立抛物线21y x 2x c4=-+与直线y 2x 3=+解析式得到：21x 2x c 2x 34-+=+，化简得：2x16x 4c 120-+-=。

∵二次函数图象与直线y 2x 3=+仅有一个交点， ∴一元二次方程根的判别式等于0，即()25644c 120∆=--=，解得c =19。

∴抛物线解析式为：()2211y x 2x 19x 41544=-+=-+。

当x=4时，二次函数有最小值，最小值为15。

②由（2）知，当1a 4=- ，b 2=时，抛物线解析式为：21y x 2x c4=-++。

联立抛物线21y x 2x c4=-++与直线y 2x 3=+解析式得到：21x 2x c 2x 34-++=+，化简得：2x124c 0+-=。

∵二次函数图象与直线y 2x 3=+仅有一个交点， ∴一元二次方程根的判别式等于0，即()204124c 0∆=--=，解得c =3。

∴抛物线解析式为：()2211y x 2x 3=x 4744=-++--+。

当x=4时，二次函数有最大值，最大值为7。

综上所述，若1a 4= ，b 2=-，c =19，二次函数图象与直线y 2x 3=+仅有一个交点时，二次函数的最小值为15；若1a 4=- ，b 2=，c =3，二次函数图象与直线y 2x 3=+仅有一个交点时，二次函数的最大值为7。

【解析】试题分析：（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=4，利用对称轴公式b42a-=，化简即得b 8a 0+=。

（2）利用三角函数定义和抛物线与x 轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求a 、b 的值将有两组。

（3）利用一元二次方程的判别式等于0求解：根据（2）分两种情况将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出c 的值，从而确定了抛物线的解析式，由抛物线的解析式确定其最值。

考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质，分类思想的应用。

8．（1）当k=0时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x 轴有一个交点。

当k≠0时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点， 令y=0得()2kx 2k 1x k 30-+++=．()()22k 14k k 30k 0⎧∆=⎡-+⎤-⋅⋅+≥⎪⎣⎦⎨≠⎪⎩，解得k 1k 0≤⎧⎨≠⎩。

综上所述，k 的取值范围是k≤1。

（2）①∵x 1≠x 2，由（1）知k ＜1且k≠0。

由题意得()211kx2k 1x k 30-+++=，即()211kxk 32k 1x ++=+（*），将（*）代入()21212kx 2k 1x k 34x x ++++=中得：()()12122k 1x x 4x x ++=。

又∵x 1+x 2=()2k 1k +，x 1x 2=k 3k +，∴()()2k 1k 32k 14k k +++⋅=⋅， 解得：k 1=﹣2，k 2=1（不合题意，舍去）。

∴所求k 值为﹣2。

②如图，∵k=﹣2，2213y 2x 2x 12x 22⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭，且﹣1≤x≤1，由图象知：当x=﹣1时，y 最小=﹣3；当x=12时，y 最大=32。

∴y 的最大值为32，最小值为﹣3。

【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x 轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x 轴有交点，则△≥0。

（2）①根据()21212kx2k 1x k 34x x ++++=及根与系数的关系，建立关于k 的方程，求出k 的值。

②充分利用图象，直接得出y 的最大值和最小值。

考点：抛物线与x 轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值，分类思想和数形结合思想的应用。