南京师大附中2020届高三年级模拟考试数学.观注意事项:1. 本试卷共4页，包括填空题(第1题〜第14题)、解答题(第15题〜第20题)两部分・本 试卷滚分为160分，考试时间为120分钟.2. 答题前•请务必将口己的姓名■学校、班级、学号写在答题卡的相应位置•试题的答案 写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后.交回答题卡.• • •参考公式：1 n 一 一 1 丿样本数据x/2,£的方差疋=丄》(兀yr,其中“一乂兀.n /-I n/=i锥体的体积V^-Sh,其中S 是锥体的底面积，力是锥体的髙.3球体的表面积S=4寸2,其中，•是球体的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解答过程，请把答案写在 爾卡相轆單上.1. 已知集合 A={x^x\ < L xeZ}, B={—l,0,l,6},则 AQB= A .2. 已知复数z=(l - 2i)(a + i),其中i 是虚数单位.若z 的实部为0,则实数a 的值为 ▲•3・样本数据6, 7, 10, 14, 8, 9的方差是 ▲ •4. 下图是•一个算法流程图.若输入的x 的值为1,则输出S 的值为第4题图5. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为6的倍数的概率是▲.6. 己知函数尸sin(2x+^)(--<^<-)的图象关于点(丝，0)对称，则。

的值是▲•2 2 37. 已躲P-ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16兀，且ZAPO = ZBPO = ZCPO = 30° ,则该三棱锥的体积为▲ •8. 若双曲线C ： 4-4 = ,(^>0^ b>®的离心率为3,则抛物线y = ^x 2的焦点到双曲线a 2b 2 4C 的渐近线距离为▲・2020.06/输出S /9. 己知函数/(;c)=sin兀+2卄兀'，若/(a-6) + /(2«2) <0 ,贝I】实数a的取值范围是▲ 一.10. 设等差数列｛a”｝的前n项和为S“，已知4+42+他=47, ©+©=28.若存在正整数使得对任意的"6 N-都有S” <&恒成立，则k的值为▲.11. 已知圆O ： x2 + > 0),直线/：x+2y = 10当x轴，y轴分别交于％, 3两点,若圆。

上存在点P使得'PAB的面积为兰,则实数加的最小值为▲•212. 已知点G为zMBC的重心，点D, E, F分别为AB , BC , C4的中点.若ABGD=6, AC GF^-9则貳•更=▲・2In匕x> 0,13. 己知函数/(x) = aj同，g(x) =< _x +丄兀<0关于x的方程/(x) = g(x)有3个不同的r x+i6,2 ‘实数根，则实数a的取值集合为▲•14. 在锐角M.BC中，已知cos'B + cos?/sirP 3=4cos2 zlcos? E ,则----- :占丫血］・ c °4cos C +2sin2Xsin28 的取值范围是▲•二、網答题：本大题共6小题，共计90分.请在弩輕卡指底冬寧内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在A/1BC 中，已知sin2/l-J5sinM sinC = sin2(.4 + C)-sin2c ・(1) 求cos(B + y)的值；(2) 若2)是BC 边上~ 点，AD = 5, AC = 7 , DC =3 ,求的长.A16. (本小题满分14分)在三棱柱ABC — AB.C.中，侧面AA.C.C为菱形，且AB = BC「点E, F分别为BB、, 4G 的中点・求证：(1) 平面AAfi.C丄平ffi A.BC；(2) EF〃平面ABC •第16题图某处有一块闲置用地，如图所示，它的边界由圆O 的一•段圆和两条线段AC, BC%构成.已知圆心0在线段AC k.现测得圆O 半径为2百米，ZAOB = —9 BC 丄AC •现 3 规划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设，该梯形区域的下底为AC,上 底为问，点M 在圆弧助9 （点D 在圆弧％上，且OD 丄0力）上，点N 在圆弧劝）上 或线段BC 上.设ZAOM = 0 .■ 1）将梯形ACNM 的面积表示为&的函数：12）当0为何值时，梯形ACNM 的而积最大？求出最大面积.18・（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOp 中，已知椭圆卩：手■+召=1 （a">0）,其右焦点F 到 其右准线的距离为1,离心率为#, A. B 分别为椭圆「的上，下顶点，过F 且不与 x 轴遠合的直线/与椭圆「交于C, Z ）两点•与y 轴交于点几直线与交于点0.（1） 求椭圆厂的标准方程；（2） 当CD = |V2时，求直线/的方程; （3） 求证：可宛为定值.高三数学试题第3页（共4页）第18题图设/W = a(x-1)2 -e x + ex , g(x) = e x(x-l) + —ax2 -(a + e>» ae R ,其中 e 为自然对2数的底数(e =2.7182……). '(1) 当a=e时，求g(x)在(l,g⑴)处的切线方程；(2) 设F(x) = /(x) + g(x),求F(x)的单调区间；(3) 当xhl时，/(x)<0恒成立，求a的取值范围.20. (本小题满分16分)已知S”｝是各项均为正数的无穷数列，且满足q=a，如(伽+色)•(1) 若<7=1, a3=6 ,求 a 的值；(2) 设数列｛»｝满足b“=%-a”,其前"项的和为①证明：｛»｝是等差数列；②若对于任意的neK,都存在加wM,使得S”6,”成立•证明S“S(2”-l)b,.南京师大附中2020届高三年级模拟考试数学附加题2020.06 注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分，考试时间30分钟.3. 答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡上相应位置.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.• • •21. 【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在容暮统想是底域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4一2：矩阵与变换已知矩阵/二2点尸(3厂1)在矩阵/对应的变换作用卞得到点F(3,5).2 b(1) 求a和b的值；(2) 求矩阵力的特征值.B.选修—h坐标系与参数方程在极坐标系中，直线/的方程为psin(&-= s曲线C的方程为严4cos&,若直线/与6曲线C相切，求实数a的值.C-选修4一5：不等式选讲已知宀b, c为正实数.求磐_ +丄+二的最小值. b + c c + a a + o【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解• •答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.%22. (本小题满分10分)某校举办的体育节设有投篮项目.该项目规定：每位同学仅有三次投篮机会，其中前两次投篮每投中一次得1分，第三次投篮投中得2分，若不中不得分，投完三次后累计总分.【1)若甲同学每次投篮命中的概率为？，且相互不影响，记甲同学投完三次后的总分5为X,求随机变量X的概率分布列；(2)若(1)中的甲同学邀请乙同学一起参加投篮项目，已知乙同学每次投篮命中的概率为二，且相互不影响，甲乙两人之间互不干扰.求甲同学的总分低于乙同学的2总分的概率.23. (本小题满分10分)在空间直角坐标系中，有一只电子蜜蜂从坐标原点O出发，规定电子蜜蜂只能沿着坐标轴方向或与坐标轴平行的方向行进，每一步只能行进I个单位长度，若设定该电子蜜蜂从坐标原点O出发行进到点(x,y,zwN)经过最短路径的不同走法的总数为(1)求/(1,1,1), /(2,2,2)和(xN・)；(2)当试比较/ (”/")与的大小,并说明理由.4 ・(”!)南京师大附中2020届高三年级模拟考试一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分・不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上)1. ｛一 1, 0,1｝ 2. -23. 04. 1005. i366.丿7. -x/3 8. i 9. [一2, 3]10- 103 4 3211. 59 12-飞13-阮｝】W)二解答题(本大题共6小题，计90分•解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15・(本小题满分14分)解：(1)因为 M+B+C=?t, sin 2^sinJ • sinC=sin 2(J+C)—sin 2C.所以由正弦定理可知，BC 2-蚯BC ・AB=AC 2-AB 2, Ba+ABZ-M^n^BC • AB,・・・2分 cosB=眈2+肋$ _上0 =匝,因为在心肚中，BE(0,龙)，所以B=£.................... 5分24所以 cos(B+5)=cosBcos 匹一sinBsing^ * 半=也亍迴333^2224(2)由余弦定理可知，在△XCD 中，cosC=^M 匕空二竺7?二巧=特・ 2ACDC ________ 2x7x3 14因为 Ce (0,龙)，所以 sinC>0, sinC=Jl-cos2C=\jl 一(护='咅,由正弦定理可知，在△力〃c 中，誥二盏，所以曬=金~，所以皿=字•…M 分、 17 ~216.(本小题满分14分)证明：(1)连结力6交£(?于0点，连结B0,在AJBC 冲，因为AB = BC,,所以B0丄 因为侧面AA.C.C 为菱形，所以对角线4C 丄川?「 又因为Bon 件0, BO.Afi u 平面4BC,所以Ml 丄平面人BC 又因为JC,c 平面曲CC ，所以平面AA.C.C 丄平面4BC (2)连结F0,因为侧面AA.C.C 为菱形，所以对角线互相平分，点0为4C 的中点 又因为点F 为人q 的中点，所以在中，FO//CC,, F0苗CG ..................................................... 9分 在三棱柱4BC - ABG 中，侧棱也CC|,又因为点E 为BB ］的中点,数学参考答案及评分标准2020.062BCMB2x7x311分.............. 4分(2)①当冷)时，S(0) = sin0(4cos0 + 3),S ‘⑹=cos0(4 cos 0 + 3) + sin 0(-4 sin 0) = 8 cos 2 & + 3 cos 0 - 4 ,又因为处点洛）时，cos&w （0,丄），cos 2^<-,$ 2 2 4所以BE’*CC \,又FOU^CC.,所以BE’FO,四边形PEFO 是平行四边形12分所以EF//BO,又因为EF （z 平面&BC , BOu 平面A.BC ,所以肪〃平面&BC .…14分 17.（本小题满分14分）解：（1）因为点M 在圆弧乔上，OD 丄O/,当点M 分别与点/、D 重合时，梯形不存在, 所以6>e （0,~）・过点B 作BBFC4,且交圆弧乔于点0,连结B'O,因为OD 丄％, 所以BB' 1OD ,由垂径定理可知OQ 垂直平分$夕，因此 ZB'°D = ZBOD = /LAOB- Z.AOD = — - — = — , ZA0B' = Z.AOD - Z.B'0D - =—326因此'当（扌冷）时，点N 在圆弧丽上， 当0G （O 申时，点N 在线段8C 上.设0Df ）MN = H ①当处（扌冷）时，因为MV//C4,所以ZHM0 = ^AOM = ODLOA,所以MV 丄0£）,由垂径定理可知 HM = HN ,在 RtAOHM 中，HM = 0McosZ0MH = 2cos8 , HO =OM sin Z.OMH = 2 sin & ,BC 丄 4C ,所以在 RtAOBC 中，ZCOB =兀-Z4OB = n-生=巴,33CO = OBcoszlBOC = 2cos^ = 1,所以梯形 ACNM 的面积 S(0) = YO//(J^N + AC) = LoH(2MH + AO + OC) = sin0(4cos0 + 3), ②当6>e(0,y ］时，因为BC 丄AC, ODJ.OC ,伽丄仞， 所以四边形607/为矩形，故NH=OC = \, 所以梯形彳CNM 的面积 S(0)-^OH + &C) = #OH - (MH + NH + AO + OC)= 2sin0(cos& + 2)综上，S 如2sin0(cos0 + 2),sin&(4cos& + 3), 处（0申I .其中处（0冷）. 处（兰匸）・ 23 274分yi ）>风切yi ）9则必+刃=三7丁，刃刃=宁二，则€1/>2=（加2+1矽］-必）2=（加2+1）［5 + m+2 m +2旷师］=（卄）［（諜I （箱）］=韶因为4莎,所以常= 竽，得加2=3,所以加=±也・所以直线/的方程为：尸±心+1........................ 8分⑶ 在x=my+l 中令x=0得尸- —,AP （0, -丄），而直线加）的方程为：夕一 1 = 心^, m m 直线CB 的方程为：y+l = A±l x ・由此得到：y Q =x \（力必+1）必+（加必+1）+（秒| + 1）72一（加必+1）二2加丿山+丁】+必+加（丁2一/） （加必+1）必+（加必+1）-（切+】）必+（加必+1） 加（必+必）+（必一必）+2所以 S 〔0) = 8COS 2 0 + 3COS &-4V 8・丄+ 3 •丄一4 二一丄 <0,422故 S ⑹在(晁)上单调递减，S(e)< 5(y) = sin. (4coSy + 3) = .②当 &w(0,扌］时，S(&) = 2sin0(cos0 + 2),10分S '(0) = 2 cos 0(cos 0 + 2) + 2 sin 0(-sin &) = 4 cos 2 0 + 4cos 0 - 2 ,又因为处（0白时，cos 处［丄,1）, cos?处丄，32 4所以 SW ） = 4cos2& + 4cos0-2n4・1 + 4・丄_2 = 1>0,42故S （0）在（0,扌］上单调递增,S （0）<S§） = 2siny-（cos 扌 + 2）=学. 综上，当且仅当时，梯形ACNM 的面积取得最大值也平方百米.3218.（本小题满分16分）13分 14分解:⑴由题意可知,「1C c 41'—=■・ a 2 a>0所以Q =込，c=】，所以b 2=a 2—c 2=\9所以椭圆的标准方程为：兰+尸=1................ 4分2（2）因直线/不与兀轴重合，所以斜率不为0.因为｛过只1, 0）,所以设直线/的方程为：x=my+\.由设 C(xi,勺必+召+旺必一齐;兀2必+耳一兀』2十州 得（加2+2）护+2秒一1=0.48以下不变）19・（本小题满分16分）解答：（1）当 a=e 时，g （x ）=e x （x-l ）+^ex 2-2ex, g'（x ）=e （x- O+e^+ex-Ze, g r (l)=e+e —2e=0,戎l)=f_2e=_3e,2 2所以g(x)在(1, g ⑴)处的切线方程为：y+|e=o,即尸一中......(2) F7x)=/r W+g r (x)=2a(x--l)~e r +e+e x +ax-(a+e)=(x-lXe x +3a)① 当aMO 时，廿+才4>0,・・・当x>l 时，F(x)>0；当xVl 时，F(x)V0；:.F(x)单调增区间为(1，+8),单调减区间为(一8, 1). ..........② 当aVO 时，令 F(x)=0 得 x=l, x=ln(-3a)Vl>若 In(—3a)=l 时，即时，则 F(x)N0恒成立，3所以F(x)单调增区间为(一8, +°°)....<2>若 ln(-3a)< 1 时，即一^<a<0 时，F(x)>0 即 x>l 或x<ln(-3a)；3F(x)V0 贝ijln(—3a) <x<l,所以F(x)单调增区间为(一8, In(—3a))和(1, +«>),单调减区间为(ln(-3a), 1)・<3>若 ln(-3a)>l 时，即 aV-空时,F(x)>0 则x>ln(-3a)或xVl,F(x)V° 则 l<x<ln(- 33a),所以F(x)单调增区间为(一8,1)和(In(—3°),+ 8),单调减区间为(l,ln(—3°))・・・・8分 ⑶ /3=2心一1)一 J+e①若穴0时，则厂（x ）W0在xNl 恒成立，所以/⑴在⑴+8）单调递减，所以当Q1时, /（力今（1）=0,所以Q1时，/（x ）W0恒成立• ....... 10分不妨设y\>yif 则/= _加+£_；十丄①'刃=加2十2 —加一② ・・・刃_旳=迤应1③，将①②®代入（*）式:m +22m yQ-—m .—2m _ 2yj2y[rn^ +1 厂__m 2 +2 力加$+ 2 _ _4m-2逅mJ 卅 +1 __ _ ------------- - -- ---------- = ------- _ ; -r-' = ------ m. -2m14分+2所以3?•宛=（0, -丄）・（切，兀）=-生=-凹 =1为定值•.....m m m （另解：从（*）式开始，将韦达定理代入（*）式，得亠-1 . -2m *加叶必）三％_也_必）----- = -------------- =-m R +（E2加・— .2砒必+必+必+加02 一X )_ 加2 + 2 加2 + 2-2m ・-・ 加（刃+%+0厂必）+2 "齐+2+(E16分②若a>0 时，令0(刃=/仅)，贝t(p,(x)=2a-e,<1>当aW£时，则Q1时，0(x)WO,所以卩⑴单调递减，所以0(x00 (1)=0,即厂(x)W0, 所以/'⑴单调递减.所以当x>\时，/(X)今(1)=0恒成立. ....... 12分<2>当□>«时，令0(x)=O,则x=ln(2a)>l,当x>ln(2a)时，0(x)VO, 0(x)单调递减；当xVln(2a)时，0(x)>O,卩(x)单调递増.因为卩⑴在(一〜ln(2a))单调递增H^(l)=0.所以0(ln(2a))>®(l)=O,所以在(1, ln(2a))上卩⑴>0,所以广(x)>0,所以/⑴单调递增，所以当xe(l, ln(2a))时，/(x)>/(l)=0,不满足条件.所以a的取值范围是(-co,勻. ....... 16分20.(本小题满分16分)解答：解答(1)因为a n+x-a…=y[a~¥a^, a3=6所以令n=2,得a3 -a2 =yja3 +a2 ,即6-a2 = ^6 + (a2 < 6)»平方整理得，(a2-10)(a2-3) = 0,因为a2 <6,所以a2 =3；同理令n=l,得a2-a｝= yja2 >即3-坷=j3 + q(q v3),平方整理得，(aj-1)(0,-7) = 0,因为a, <3,所以q=l 因此 a = l ......................................................... 4 分(2)①由题意，得MAO当d = 0时，陽+]-爲=0,所以｛®｝是公差为0的等差数列....... 5分当"0时，因为也一乞=“(％+%)所以(a”+i -a n)2=J(a n+I +%)①从而有(a n -a n_y = d(a n+ %)②GMD得,(。