南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题第Ⅰ卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知{}231,x A x xR +=≥∈，211,3x B x x R x ⎧⎫-=≤∈⎨⎬+⎩⎭，则A B =I __________．2．复数(1)z i i =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的在第__________象限． 3．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为__________．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是__________．5．抛物线28y x =的焦点坐标为__________．（第4题）（第13题）6．若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从1，2两个数中任取的一个数，则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是__________．7．已知某圆锥底面圆的半径1r =，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为__________． 8．已知等差数列{}n a 中，3421a a -=-，30a =，则{}n a 的前10项和是__________．9．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为__________．10．已知点A （0，3），直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，且圆心C 在直线l 上．若圆C 上存在点M ，使得|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为__________． 11．已知不等式2121xx ->-的解集为A ，不等式()22100x x m m ++-≤>的解集为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 12．已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为__________． 13．如图，已知AB AC ⊥，3AB =，AC =A 是以A 为圆心半径为1的圆，圆B是以B 为圆心的圆．设点P ，Q 分别为圆A ，圆B 上的动点，且12AP BQ =u u u r u u u r ，则CP CQ⋅u u u r u u u r的取值范围是__________．14．若1x ，2x 是函数()2ln 2f x x m x x =+-，m R ∈的两个极值点，且12x x <，则()12f x x 的取值范围为__________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边，且满足a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C ．（1）求证：A ＝C ；（2）若b ＝2，BA →·BC →＝1，求sin B 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊥DB ．求证： （1）BC ∥平面ADD 1A 1；（2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．（第16题）BACDD 1B 1A 1C 117．（本小题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在O e 上，,,,A B C D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为－12，求k 的值；（3）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝32，求M 的坐标．（第17题）19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ln x ＋ax＋1，a ∈R ．（1）若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；（2）记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围；（3）若当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．20．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111λ+++-=-n n n n n na S a S a a 对一切*n ∈N 都成立．（1）当λ＝1时，①求数列{}n a 的通项公式；②若,)1(n n a n b +=求数列{}n b 的前n 项的和T n ；（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列．如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题第Ⅱ卷（选做题，40分）21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤2112．（1）求M 2；（2）求矩阵M 的特征值和特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系() (02π)ρθθ<≤, 中，求曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=的交点Q 的极坐标．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)及点M (2，0)，动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，AB ＝4．（1）求p 的值；（2）若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点为C ，直线l 1经过点C 且垂直于y 轴，直线l 2经过点M 且垂直于直线l ，记l 1，l 2相交于点P ，求证：点P 在定直线上．23．（本小题满分10分）对于给定正整数n ，设n n n x a x a x a a x ++++=-Λ2210)1(，记01nn k k S a ==∑．（1）计算1234S S S S ，，，的值；（2）求n S ．南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．[]2,4-2．二3．64．55．()2,06．5878．2529．1210．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．[)4,+∞12．19 13．[]1,11-14．3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分） 解：（1）由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C ，得 (sin A cos B ＋sin B cos A ) cos C ＝sin C cos A ，…………2分即sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A ．因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以sin C cos C ＝sin C cos A ，…………4分因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A ． 又因为A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C ．…………6分（2）由（1）知，因为A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a 2．…………8分因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3．…………10分 所以cos B ＝13．…………12分因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223．…………14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC ， 所以AD ∥BC ．…………4分又因为BC ⊄平面ADD 1A 1，AD ⊂平面ADD 1A 1， 所以BC ∥平面ADD 1A 1．…………6分（2）由（1）知AD ∥BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，…………8分 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1⊥平面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， 所以DD 1⊥BC ，…………10分又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1，DB ⊂平面BDD 1B 1，DD 1∩DB ＝D ， 所以BC ⊥平面BDD 1B 1，…………12分 因为BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．…………14分 17．（本小题满分14分）解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米， 所以10OA OB AB ===，则3AOB π∠=，所以»103AB π=，…………2分所以广场的面积为2211050(1010)10100233ππ⋅⋅+=+-答：广场的面积为501003π+-6分 （2）作OG CD ⊥于G ，OK AD ⊥于K G ，记OAK α∠=，则2220sin AD DG OK α===，…………8分 由余弦定理得2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22ααααα-=+-⨯⨯=+⨯-230045)1)α=-+≥o ，…………12分所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=o时取等号，所以201)OA OB OC OD +++≤+=因此求4条小路的总长度的最小值为答：4条小路的总长度的最小值为14分 18．（本小题满分14分）解：（1）设椭圆的焦距为2c (c ＞0)． 依题意，c a ＝12，且a 2c ＝4，解得a ＝2，c ＝1．故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．…………4分（2）设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以14＋13·k ·(－12)＝0，得k ＝32． …………8分（3）由题意，S 1S 2＝32，即12·|AF |·|y 1|12·|BF |·|y 2|＝32，整理可得|y 1||y 2|＝12，…………10分所以→NF ＝2→FM ．代入坐标，可得⎩⎨⎧1－x 2＝2(x 1－1)－y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝3－2x 1y 2＝－2y 1．…………12分 又点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 124＋y 123＝1(3－2x 1)24＋(－2y 1)23＝1，解得⎩⎨⎧x 1＝74y ＝385．所以M 的坐标为(74，358)．…………16分19．（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝1x －a x 2，则f ′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f (x )＝ln x －1x ＋1，此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)， 代入切线方程，得b ＝－2， 所以a ＝－1，b ＝－2．…………2分（2）g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x )＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2．①当a ＝0时，g ′(x )＝1x ＞0，则g (x )在区间(0，12)上为增函数，则g (x )在区间(0，12)上无最小值．…………4分②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0， 则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2． 设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0)， （i ）若a ＞0，若x 2∈(0，12) ，则m (0)＝－a ＜0 ，m (12)＝a 4＋12－a ＞0 ，解得0＜a ＜23．此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＜0，则g (x )递减；x ∈(x 2，12)时，m (x )＞0，则g (x )递增，当x ＝x 2时，g (x )取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈(0，12)，m (x )＜0，g (x )在(0，12)单调减，无最小值．…………6分（ii ）若a ＜0，此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＞0，则g (x )递增；x ∈(x 2，＋∞)时，m (x )＜0，则g (x )递减， 在区间(0，12)上，g (x )不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g (x )在区间(0，12)上有最小值．…………8分（3）当a ＝0时，由方程f (x )＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0，记h (x )＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h ′(x )＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x．①当b ≤0时，h ′(x )＞0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上为增函数， 则函数h (x )至多只有一个零点，即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根， 所以b ≤0不符合题意．…………10分 ②当b ＞0时，当x ∈(0，12b)时，h ′(x )＞0，所以函数h (x )递增； 当x ∈(12b，＋∞)时，h ′(x )＜0，所以函数h (x )递减， 则h (x )max ＝h (12b)＝ln 12b ＋12． 要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，则h (12b)＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e2．…………12分（i ）当0＜b ＜e 2时，h (1e )＝－be 2＜0．又(1e)2－(12b )2＝2b －e 22b e 2＜0，则1e＜12b， 所以存在唯一的x 1∈(1e ，12b)，使得h (x 1)＝0．…………14分 （ii ）h (1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k (b )＝－ln b ＋1－1b ，0＜b ＜e2，因为k ′(b )＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k (b )在(0，1)上为增函数，在(1，e2)上为减函数，则k (b )max ＝k (1)＝0，则h (1b )≤0．又(1b)2－(12b )2＝2－b 2b 2＞0，即1b＞12b， 所以存在唯一的x 2∈(12b ，1b]，使得h (x 2)＝0， 综上，当0＜b ＜e2时，方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根．…………16分20．（本小题满分16分）解：（1）①若1λ=，因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-， 则()()1111n n n n S a S a +++=+，111a S ==． 又∵0n a >，0n S >，∴1111n n n nS a S a +++=+，∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得1112n n S a +++=．①∴当2n ≥时，12n n S a +=．②②－①，得12n n a a +=，即()122n na n a +=≥． ∵当1n =时，22a =，1n =时上式也成立，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -=．…………4分②因为()1n n b n a =+，∴()112n n b n -=+⋅．所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，所以123122232422(1)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，所以1212222(1)2n nn T n --=++++-+⨯L 12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-，所以2nn T n =⋅．…………8分（2）令1n =，得21a λ=+．令2n =，得()231a λ=+． 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=． 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．…………10分 当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=．…………14分综上所述，()*1Nn a n =∈，所以0λ=时，数列{}n a 是等差数列．…………16分第Ⅱ卷（选做题，40分）21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）M 2＝⎣⎡⎦⎤2112⎣⎡⎦⎤2112 ＝⎣⎡⎦⎤5445．…………4分 （2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－1－1λ－2＝(λ－1)(λ－3)．令f (λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3．…………6分 ①当λ＝1时，⎣⎡⎦⎤2112⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x y ，得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0．令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1．…………8分②当λ＝3时，⎣⎡⎦⎤2112⎣⎡⎦⎤x y ＝3⎣⎡⎦⎤x y ，得⎩⎨⎧x －y ＝0，x －y ＝0．令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤11． 因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1，⎣⎡⎦⎤11．…………10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：分别化为普通方程得直线1x =与圆22(1)1x y +-=，…………4分易得直线1x =与圆22(1)1x y +-=切于点Q ()1 1，，…………6分所以交点Q 的极坐标是)π4，．…………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）因为l 过M (2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4， 所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1．…………2分 （2）设直线l 方程为：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －2)，消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4．…………4分因为C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1方程为：y ＝1k．…………6分因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则l 2方程为：y ＝－1k (x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝1k，y ＝－1k(x －2)，…………8分 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1k ，即P (1，1k)，所以，点P 在定直线x ＝1上．…………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）0111111101=-=+=a a S ；231121*********=+-=++=a a a S ；011313111111132103=-+-=+++=a a a a S ；35114161411111111432104=+-+-=++++=a a a a a S ．…………4分（2）由二项式定理得，(1),,k kk na k n k =-∈C N ≤， 因为!()!1!C k nk n k n -=)!1(])!(!)][1()1[(21+-+++-⋅++=n k n k k k n n n )!1()!()!1()!1(!21+-+++-⋅++=n k n k k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-⋅++=)!1()!()!1()!1()!1(!21n k n k n k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++=+++111C 1C 121k n k n n n ，…………8分 所以∑==nk kn a S 01011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L0111111(1)2C C n n n n n n +++⎛⎫+=⋅+- ⎪+⎝⎭()n n n )1(121-+⋅++=．…………10分。