圆周运动的临界问题【例1】如图所示，半径为0.5 m 的光滑细圆管轨道固定在底座上，底座放在水平地面上两地桩之间，不能左右移动，圆管轨道和底座的总质量为5 kg 。
在圆管最低点静置一个质量为1 kg 的小球（直径略小于圆管内径），给小球一个水平方向的初速度v 0，小球能在圆管内做完整的圆周运动，整个过程中底座不会脱离地面，重力加速度g 取10 m/s 2。
（1）若小球运动到圆管最高点时，对圆管恰好无作用力，则初速度v 0多大？（2）若小球运动到圆管最高点时，底座对地面的压力不超过55 N ，求初速度v 0应满足的条件。
【例2】一个质量为m 的小物块（可视为质点）放在一水平圆盘上，圆盘可绕过圆 心O 的竖直轴转动，物块到转轴的距离为r ，物块与圆盘间的动摩擦因数为μ， 设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
当圆盘以角速度ω0匀速转动时，物块与圆盘保持相对静止，则此时物块受到的摩擦力大小为_____________；要使物块与圆 盘始终保持相对静止，圆盘转动的角速度应满足的条件是_____________。
【例3】用一根长为L 的不可伸长的轻绳一端固定在悬点O ，另一端拴住一个质量为m 的小球（可视为质点），开始时用外力使小球静止在最低点，然后释放小球，同时给小球一个水平方向的初速度v 0，使小球在竖直平面内运动，空气阻力不计，重力加速度为g 。
（1）若小球能做完整的圆周运动，则初速度v 0至少为多少？（2）若在空间加上场强大小为E 、方向向下的匀强电场，同时让小球带上q （q ＞0）的电荷，轻绳绝缘，则（1）的结果又为多少？O练习1：A 、B 、C 三个质量分别为m 、3m 、m 的小物块（均可视为质点）放在一水平圆盘上，圆盘可绕过圆心O 的竖直轴转动。
已知物块A 和B 到转轴的距离均为r ，物块C 到转轴的距离为2r ，如图所示。
三物块与圆盘间的动摩擦因数均相同，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
当圆盘以角速度ω0匀速转动时，三物块与圆盘均保持相对静止，则物块________受到的静摩擦力最大；若逐渐增大圆盘转动的角速度，则物块________最先开始相对圆盘滑动。
练习2：如图所示，放在水平地面上的光滑直轨道AB 和光滑半圆轨道CD 处于同一竖直平面内，两轨道与水平地面平滑连接，其端点B 和C 相距1.2 m ，半圆轨道两端点的连线CD 与地面垂直。
今有一质量为0.1 kg 的小球从轨道AB 上距离地面高度为4.2 m 处无初速度释放，已知小球运动到C 点时的速度为45m/s ，g 取10 m/s 2，空气阻力不计。
（1）若要使小球恰能到达半圆轨道CD 的最高点D ，半圆形轨道的半径应为多少?（2）若半圆轨道CD 的半径就是（1）中求得的值，现在B 点正上方某处固定一根垂直纸面的细杆，若要使小球恰好能从细杆上越过，细杆所在位置到B 点的高度差h 应满足什么条件？此时小球在轨道AB 上的释放点距离地面高度H 又为多少？（用h 表示）练习3：如图所示，一端弯曲的光滑绝缘杆ABC 固定在竖直平面内，AB 段水平，BC 段是半径为R 的半圆弧。
一电荷量为Q （Q ＞0）的点电荷固定在圆心O 处；一质量为m 、电荷量为q （q ＞0）的带电小环套在光滑绝缘杆上，在水平恒力F 作用下从AB 段上距离B 点34R 的D 点由静止开始运动，到B 点时撤去力F ，小环继续向上运动。
根据电学知识，在某一空间放置一电荷量为Q 的点电荷时，距离该点电荷为r 处的某点的电势φ＝k rQ，k 为静电力常量，规定无穷远处电势为零。
（1）若要使小环能运动到绝缘杆的最高点C ，求力F 的最小值F 1； （2）若力F 的大小为F 2（F 2大于（1）中的F 1），求小环运动到C 点时，绝缘杆对小环的弹力大小和方向。
作业：1．用一不可伸长的轻绳系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥的顶部。
现使小球在水平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，则轻绳的拉力F 随ω2的变化图像应是 ( )2．有两个相同小球A 、B 分别拴在细绳的两端，绳子穿过一根光滑管子，B 球在水平面上作半径为r的匀速圆周运动，A 球静止不动，则( ) A ．B 球受到绳的拉力等于A 球受到绳的拉力 B ．若A 球静止在较高位置时，B 球角速度较小 C ．若A 球静止在较低位置时，B 球角速度较小D ．B 球角速度改变时，A 球可以不升高也不降低3．光滑管形圆轨道半径为R （管内径远小于R ），小物块a 、b （均可视为质点）质量均为m ，厚度略小于管内径，能在管中无摩擦运动。
两物块先后以相同速度v 通过轨道最低点，且当a 在最低点时，b 恰好在最高点，以下说法正确的是 ( ) A ．当b 在最高点对轨道无压力时，a 比b 所需向心力大5mg B ．当v ＝5gR 时，b 在轨道最高点对轨道无压力C ．速度v 至少为5gR ，才能使两物块在管内做完整的圆周运动D ．只要v ≥5gR ，a 对轨道最低点的压力比b 对轨道最高点的 压力都大6mg4．如图所示，不可伸长的轻绳一端系着一个质量为M 的物体（可视为质点），另一端通过光滑小孔吊着质量为m 的物体（可视为质点）。
已知M 到小孔O 的距离为r ，与平面间的最大静摩擦力为F m （F m ＜mg ）。
现使M 和平面一起绕中心竖直轴OO ′ 以角速度ω匀速转动。
重力加速度为g ，空气阻力不计，则（1）当ω为多少时，M 与平面间无相对滑动的趋势？（2）为了保证M 和平面相对静止，角速度ω的取值范围是多少？5．湖南省电视台“智勇大冲关”游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。
如图所示，他们将选手简化为质量m ＝60 kg 的质点，选手抓住绳子末端由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角α＝53°，绳长l ＝2 m 的悬挂点O 距水面的高度为H ＝3 m 。
不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。
取g ＝10 m/s 2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。
若要求选手摆到最低点时松手，且运动到浮台处离岸水平距离最大，则选手实际的摆线长度l 1应为多少？A BC DR1R2R3AB CDv0第一圆轨道第二圆轨道第三圆轨道LLL1PHCBAOM NDR6．如图所示，一个43圆周的光滑圆轨道ABC放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平地面AD相接，圆心O与地面等高，C为轨道最高点；MN是放在水平地面上长为2R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点。
将一个质量为m的小球（可视为质点）从A处正上方高H的P点由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）若小球由圆轨道经C点射出后恰好能打到垫子MN的中点，求小球从C点射出的速度大小；（2）通过分析与计算，推导出小球对C点作用力F的大小随高度H的变化关系；（3）小球由P点静止释放，由圆弧轨道经C点击中垫子，求高度H的取值范围。
7．放置在竖直平面内的光滑绝缘轨道如图所示，其中BC为水平面，斜面AB与BC通过较小光滑圆弧连接，CDF是半径为R（未知）的圆形轨道。
一个质量为m、带电量为－q的小球，从距水平面BC 高h处的P点由静止下滑，小球恰能通过竖直圆形轨道的最高点D而作圆周运动，求：（1）圆形轨道半径R；（2）现在竖直方向加方向竖直向下的足够大的匀强电场，电场强度E＝qmg2，若仍从P点由静止释放该小球，试判断小球能否通过圆形轨道的最高点D。
若不能，说明理由；若能，求出小球在D点时对轨道的压力。
8．过山车是游乐场中常见的设施。
下图是一种过山车的简易模型，它由粗糙的水平轨道和在竖直平面内的三个光滑圆形轨道组成；B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，BC间距与CD间距相等，均为L；第一、第二圆轨道的半径分别为R1＝2.0 m、R2＝1.4 m。
一个质量为m＝1.0 kg的小球（视为质点），从水平轨道左侧的A点以v0＝12.0 m/s的初速度沿轨道向右运动。
已知A、B间距L1＝6.0 m，小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2；水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。
取g＝10 m/s2，计算结果均保留一位小数，求：（1）小球在经过第一圆轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；（2）如果小球恰能通过第二圆轨道，BC间距L应是多少？（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件。
问题1：已知地球的半径为6400 km，地球的自转角速度为7.3×10－5 rad/s，地面处的重力加速度为9.8 m/s2，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，第三宇宙速度为16.7 km/s，月、地中心距离为3.8×105 km。
假设地球赤道处有一棵苹果树长到了月球那么高，则长在树上的某个苹果受到哪些力作用？方向如何？当一个苹果成熟后从树梢上掉下，之后苹果将怎样运动？问题2：地球可以看做一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径（约为6400 km）。
地面上有一辆汽车在行驶，其重量为mg，地面对它的支持力为F。
根据学过的知识我们知道，汽车行驶的速度越大，支持力F就越小。
那么有没有可能出现这样一种情况：当汽车的速度大到一定程度时，支持力F＝0？此时驾驶员与座椅之间的压力多大？驾驶员躯体各部分之间的压力多大？驾驶员会有什么感觉？问题1：已知地球的半径为6400 km，地球的自转角速度为7.3×10－5 rad/s，地面处的重力加速度为9.8 m/s2，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，第三宇宙速度为16.7 km/s，月、地中心距离为3.8×105 km。
假设地球赤道处有一棵苹果树长到了月球那么高，则长在树上的某个苹果受到哪些力作用？方向如何？当一个苹果成熟后从树梢上掉下，之后苹果将怎样运动？问题2：地球可以看做一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径（约为6400 km）。
地面上有一辆汽车在行驶，其重量为mg，地面对它的支持力为F。
根据学过的知识我们知道，汽车行驶的速度越大，支持力F就越小。
那么有没有可能出现这样一种情况：当汽车的速度大到一定程度时，支持力F＝0？此时驾驶员与座椅之间的压力多大？驾驶员躯体各部分之间的压力多大？驾驶员会有什么感觉？。