13．对数函数的应用姚亮 学习目标1．进一步熟悉对数函数与指数函数关系，进一步熟悉对数函数概念、性质． 2．能运用对数函数有关知识解决含有对数符号的函数有关问题． 3．渗透应用意识，初步建立函数思想在方程、不等式中的应用． 一、夯实基础 基础梳理 基础达标1．已知指函数x y a =图象经过()m n ，点，则对数函数()log a y ax =一定经过点（ ）． A ．()n m ，B ．()m n ，C ．()1m n +，D ．()1n m +，2．若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图所示，其中a b ，为常数，则函数()x g x a b =+的大致图象是（ ）．D.C.B.A.3．（2011年天津）已知2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭则（ ）．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>4．函数()12log 3y x a =-的定义域是23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，则a =__________．5．（2010年湖北）放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素绝137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位年）满足函数关系：()3002t M t M =，其中0M 为0t =时铯137的含量，已知30t =时，铯137含量的变化率是10ln 2-（太贝克/年），则()60M =（ ）． A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克 C ．150ln2太贝克 D ．150太贝克 二、学习指引 自主探究1．下列是关于指数成长函数、指数衰退函数的实际问题，试着解决它们，并体会对数运算在解决这两类问题中的作和．（1）某细菌的生长过程为一指数成长函数()Q t ，就是说t 分钟后细菌的数量为()0kt Q t Q e =（0Q 、k 为常数），且一开始的数量为1000只，而在20分钟后变为3000只，求一小时后细菌的数量．（2）任何放射性物质都有所谓的半衰期，亦即数量减半所需经过的时间，一般而言，若一放射性物质的数量为()0kt Q t Q e =（0Q 、k 为常数），则半衰期即为()012Q Q t =的解．已知一化石存有碳14，而碳14的半衰期为5730年，部经过多少时间，碳14的存量变为原来的15？ 2．函数()()()log 00a f x g x a a =>≠，与()y g x =的单调性有何关系？ （1）试根据下列条件，用“单调增函数”、“单调减函数”填空：（2）如果()()ln f x g x =的单调增区间为()a b ，，那么()y g x =应满足哪些条件？有一种说法，()0g x >恒成立，则()()log a f x g x =的值域为R 对吗？请举例研究． （2）当()g x 应满足什么条件时，()()log a f x g x =的定义域为R ？ （3）当()g x 应满足什么条件时，()()log a f x g x =的值域为R ? 4．拓展思维：请解答下面两个问题，并谈谈有何收获．（1）解关于x 的不等式()2log 61x x +<+，()0x ∈+∞，；（2）已知关于x 的方程3log x a =，讨论a 的值来确定方程根的个数． （3）函数()3log f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，写出a 、b 的关系．案例分析1．求函数()()()2log 01a f x x x a a =->≠，的值域和单调区间．【解析】（1）由20x x ->得01x <<，所以函数()f x 的定义域是()01，． 因为221110244x x x ⎛⎫<-=--+≤ ⎪⎝⎭．所以，当01a <<时，()21log log 4a a x x -≥，()f x 的值域为1log 4a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．当1a >时，()21log log 4a ax x -≤，()f x 的值域为1log 4a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． （2）令2t x x =-，则log a y t =，当01a <<时，函数log a y t =在()0+∞，为减函数，2t x x =-在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上是增函数，在112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上是减函数，故所给函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上是减函数，在112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上是增函数； 当1a >时，函数log a y t =在()0+∞，为增函数，2t x x =-在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上是增函数，在112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上是减函数，故所给函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上是增函数，在112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上是减函数．2．函数()()2lg 1f x x ax =++．（1）若函数()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 的值域为R ，求a 的取值范围． 【解析】（1）由已知()2lg 1y x ax =++的定义域为R ， ∴无论x 取任何实数都有210x ax ++>成立，240a ∴∆=-<，22a ∴-<<．（2）由已知()2lg 1y x ax =++的值域为R ，设21t x ax =++， t ∴应取遍全体正实数，y 才能取遍全体实数，240a ∴∆=-≥时，t 的值域()0⊇+∞，，2a ∴≤或2a ≥．3．解决下列问题：（1）若21a b a >>>，试比较log log log bb a ba b a⋅⋅的大小； （2）若●，且x ，y ，z 都是正数，试比较2x ， 3y ，5z 的大小． 【解析】（1）由21a b a ><>，得1b a a <<，1bb a a∴>>>且log 1a b >，故log log 1log ab ba b a<<<■． （2）令2351x y z ===，由于x y z ，，都是正数，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg3t y =，lg lg5tz =，()lg lg9lg82lg 3lg 230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y ⋅-∴-=-=>⋅，23x y ∴>：同理可得：250x z -<，25x z ∴<，325y x z ∴<<． 说明：第（1）题利用对数函数单调性比较大小；第（2）题注意指数式与对数式的互●． 三、能力提升 能力闯关1．下列函数中，在()02，上为增函数的是（ ） A ． ()12log 1t x =+B ．2log y =C ．21log y x=D ．)245y x x =-+2．已知0a b c <<<，且lg lg lg a c b >>，则下列结论一定正确的是（ ）． A ．()()10a b c -->B ．1ac >C ．1ac <D ．1ac =3．若关于x 的方程1log 1mx m=-在区间()01，上有解，则实数m 的取值范围是__________．拓展迁移1．（1）已知函数()()log 200a y ax a a =->≠，在[]01，上是减函数，求a 的取值范围．（2）若函数()22log y x ax a =---在区间(1-∞，上是增函数，求a 的取值范围． 2．求下列函数的值域： （1）()2ln 3y x =-； （2）()22log 2log 4x y x =⋅， 148x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． 挑战极限1．已知函数()1101lg 1101x xxf x x --=+++．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（3）在函数()f x 图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 垂直y 轴，若存在，求A 、B 两点坐标；若不存在，说明理由．课程小结1．我们经常会借助于对数函数的图象解决与对数函数相关的不等式问题、方程根的两个数问题．2．我们经常会遇到形如()log a y f x =的函数，此函数由log a y t =与()t f x =两个函数复合而成，在研究单调性时，要注意底数a 的影响．另外，要特别注意()0f x >．13．对数函数的应用基础达标1．D 【解析】因为指数函数x y a =图象经过(),m n 点，所以函数log a y x =经过点()n m ，，从而函数()log 1log a a y ax x ==+经过点(),1n m +．2．B 【解析】由已知函数()()log a f x x b =+的图象可得01a <<，01b <<，则()x g x a b =+的图象由x y a =的图象沿y 轴向上平移b 个单位而得到． 3．C 【解析】33log 0.310log 3155C ⎛⎫== ⎪⎝⎭．易得21log 3.42<<，40log 3.61<<，3101log 23<<． 又2231010log 3.4log log 33>>，23410log 3.4log log 3.63∴>>，32410log log 3.4log 3.63555∴>>，即a cb >>．4．2．【解析】由30x a ->得3a x >，因此，函数()1log 32y x a =-的定义域是,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以233a =，2a =． 5．D ． 自主探究 1．【解析】（1）依题意()01000Q =，所以01000Q =，亦即()1000kt Q t e =． 又()203000Q =，故203000100k e =，解得20ln3k =，()203k e =即ln 320k =． 而一小时后的数量为()()()33602060100010001000327000k k Q e e ==⋅=⋅=（只）．（2）由()0157302Q Q =，得ln 20.0001215730k =≈．所求为0015kt Q Q e -=的解，亦即ln5t k=为所求，故ln513300t k=≈为所求． 说明；从上例可以看出，在已知底数和幂的值，求指数（形如解关于x 的方程x a N =）的问题时，我们自然要用到对数，请同学们体会对数与指数间的关系：当0a >，1a ≠时，log x a a N x N =⇔=．2．【解析】（1）单调增函数；单调减函数；单调增函数；单调减函数数，（2）()y g x =要满足两个条件；①()0g x >在(),a b 上恒成立；（2）()y g x =在(),a 上单调递增．“()0g x >恒成立，则()()log a f x g x =的值域为R ”的说法是错误的，举例说：()()2log 1a f x x =+中，210x +>恒成立，但()f x 的值域不是R ．（2）()0g x >对x ∈R 恒成立⇔；若()g x 在R 上有最小值，则()min 0g x >⎡⎤⎣⎦． （3）()g x 可取到一切正数⇔若()g x 的值域为D ．则()0,D +∞⊂． 4．拓展思维：【解析】（1）在同一直角坐标系中作出函数()2log 6y x =+与1y x =+的图象，如图：两图象交点的横坐标为2，所以原不等式的解集为{}|2x x >．（2）因为333log 1log log 01x x y x xx >⎧==⎨-<<⎩在同一直角坐标系中作出函数与y a =的图象，如图可知：①当0a <时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；②当0a =时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；③当0a >时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个．第（1）题是利用函数的图象解有关的不等式问题，第（2）题利用函数的图象判断方程根的个数．通过上面两题同学们要体会在解决函数题时注意数与形结合，利用函数的图象经常能起到事半功倍的效果．（3）由（2）知，()3log f x x =在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，因为0a b <<，且()()f a f b =．所以，()0,1a ∈()1,b ∈+∞，从而()3log f a a =-，()3log f b b =，于是33log log a b -=，得1ab =． 能力闯关1．D ．【解析】A 、C 中函数为减函数，()0,2不是B 中函数定义域的子集，故答案D ． 2．C ．【解析】画出函数()lg f x x =图象，注意以下事实；若()()f m f n =，m n ≠，则必有1m n ⋅=．根据题意容易得到下列不等式关系；110a b c c a<<<<<，∴必有1ac <． 3．01m <<【解析】由对数函数性质知，当()0,1x ∈时12log 0x >．01mm ∴>-01m ∴<<．拓展迁移1．【解析】（1）设()2g x ax =-．由于()g x 一定是减函数，要使()log 2a y ax =-是减函数，必须1a >．于是问题转化为()()010g g >>，即220a >->．解得12a <<． （2）令()2u g x x ax a ==--，函数212log log y u u =-=为减函数．()2u g x x ax a ∴==--在区间(,1-∞上递减，且满足0u >，所以(1210ag ⎧⎪⎨⎪⎩≥≥，解得22a -≤，所以，a的取范围为22⎡⎤-⎣⎦．2．【解析】（1）容易知道函数()2ln 3y x =-的定义域为(令23u x =-，则ln y u =，(x ∈，(]0,3u ∴∈因而(],ln3y ∈-∞，即所求函数值域为(],ln3-∞．（2）()()()2222log 2log 1log log 24xy x x x =⋅=+-． 令2log u x =，则()()12y u u =+-，1,48x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]3,2u ∴∈-又3u =-时，10y =；12u =时，94y =-． 如图，容易看出9,104y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即所求函数值域为9,104⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．注；对于复合函数，一般可考虑使用换元法，将函数分解成为若干个简单函数来分析． 挑战极限1．【解析】（1）由11011101x x x x⎧+≠⎪⇔-<<⎨->⎪+⎩，∴函数()f x 的定义域为()1,1-； （2）()()11011011lg lg 11011101x x x xx xf x f x x x---+-+-=+=-=-+-+-，()f x ∴是奇函数； （3）假设函数()f x 图象上存在两点()11,A x y ,()22,y B x ，使直线AB 恰好与y 轴垂直，其中1x ，()21,1x ∈-．即当12x x ≠时，12y y =，不妨设12x x <． 于是()()()()()()()12122121212101011lg11110110x x x xx x y y x x --+-=++-++，可证明21210y y y y -<⇒<与12y y =矛盾，故函数()f x 图象上不存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 垂直y 轴．。