锐角三角函数知识点1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
45、0 锐角三角函数题型训练类型一:直角三角形求值1.已知Rt △ABC 中,,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B . 2.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,⋅=∠43sin AOC 求:AB 及OC 的长.3.已知:⊙O 中,OC ⊥AB 于C 点,AB =16cm ,⋅=∠53sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ; (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC . 4.已知A ∠是锐角,178sin=A ,求A cos ,A tan 的值 类型二. 利用角度转化求值:1.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°.D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点.DE ∶AE =1∶2. 求:sin B 、cos B 、tan B .2. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC=,则tan EFC ∠的值为 ( )A.34 B.43 C.35D.453. 如图6,在等腰直角三角形ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,D 为AC 上一点,若1tan 5DBA ∠=,则AD 的长为( )A .2 B .2 C .1 D .224. 如图6,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,∠A 的平分线AD =3316求∠B 的度数及边BC 、AB 的长. 类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 (2012?安徽)如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB 的长.例2.已知:如图,△ABC 中,AC =12cm ,AB =16cm ,⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ; (2)求△ABC 的面积S ; (3)求tan B .例3.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC =120°,AB =10,AC =5.求:sin ∠ABC 的值.对应训练1.(2012?重庆)如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,点D 在BC 边上,且△ABD 是等边三角形.若AB=2,求△ABC 的周长.(结果保留根号)2.已知:如图,△ABC 中,AB =9,BC =6,△ABC 的面积等于9,求sin B . 类型四:利用网格构造直角三角形例1 (2012?内江)如图所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sinA 的值为( ) A .12 B .55 C .1010 D .255对应练习:1.如图,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______.特殊角的三角函数值例1.求下列各式的值︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2=. 计算:3-1+(2π-1)0-33tan30°-tan45°= 030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+= ︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒=DABC在ABC ∆中,若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ,B A ∠∠,都是锐角,求C ∠的度数. 例2.求适合下列条件的锐角??. (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α(5)已知??为锐角,且3)30tan(0=+α,求αtan 的值(6)在ABC ∆中,若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ,B A ∠∠,都是锐角,求C ∠的度数. 例3. 三角函数的增减性 1.已知∠A 为锐角,且sin A <21,那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A <60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角,且030sin cos <A ,则 ( )A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用1.已知:如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB 于E ,BE =16cm ,⋅=1312sin A 求此菱形的周长.2.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,3==BC AC ,作∠DAC =30°,AD 交CB 于D 点,求:(1)∠BAD ;(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD .3. 已知:如图△ABC 中,D 为BC 中点,且∠BAD =90°,31tan =∠B ,求:sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD .解直角三角形:1.在解直角三角形的过程中,一般要用的主要关系如下(如图所示): 在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =b ,BC =a ,AB =c , ①三边之间的等量关系:________________________________.②两锐角之间的关系:__________________________________. ③边与角之间的关系:==B A cos sin ______;==B A sin cos _______;==BA tan 1tan _____;==B Atan tan 1______. ④直角三角形中成比例的线段(如图所示). 在Rt △ABC 中,∠C =90°,CD ⊥AB 于D .CD 2=_________;AC 2=_________; BC 2=_________;AC ·BC =_________.类型一例1.在Rt △ABC 中,∠C =90°.(1)已知:a =35,235=c ,求∠A 、∠B ,b ;(2)已知:32=a ,2=b ,求∠A 、∠B ,c ; (3)已知:32sin =A ,6=c ,求a 、b ;(4)已知:,9,23tan ==b B 求a 、c ; (5)已知:∠A =60°,△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B .例2.已知:如图,△ABC 中,∠A =30°,∠B =60°,AC =10cm .求AB 及BC 的长.例3.已知:如图,Rt △ABC 中,∠D =90°,∠B =45°,∠ACD =60°.BC =10cm .求AD 的长. 例4.已知:如图,△ABC 中,∠A =30°,∠B =135°,AC =10cm .求AB 及BC 的长. 类型二:解直角三角形的实际应用 仰角与俯角:例1.(2012?福州)如图,从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD 为100米,点A 、D 、B 在同一直线上,则AB 两点的距离是( ) A . 200米B . 200米C . 220米D . 100()米例2.已知:如图,在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B 点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D 点.已知∠BAC =60°,∠DAE =45°.点D 到地面的垂直距离m 23=DE ,求点B 到地面的垂直距离BC .例3(昌平)19.如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD =30m . 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°, 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°,求风力发电装置的高AB 的长.例4 .如图,小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB 为1.7米,求这棵树的高度.例5.已知:如图,河旁有一座小山,从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°,又知河宽CD 为50m .现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ,求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号).例5.(2012?泰安)如图,为测量某物体AB 的高度,在D 点测得A 点的仰角为30°,朝物体AB 方向前进20米,到达点C ,再次测得点A 的仰角为60°,则物体AB 的高度为( ) A . 10米B . 10米C . 20米D .米例6.(2012?益阳)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离(AC )为30米.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC=75°. (1)求B 、C 两点的距离;(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度?(计算时距离精确到1米,参考数据:sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒) 类型四. 坡度与坡角例.(2012?广安)如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3,堤坝高BC=50m ,则应水坡面AB 的长度是( )A .100mB .1003mC .150mD .503mA BCD ECB A类型五. 方位角1.已知:如图,一艘货轮向正北方向航行,在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B 处,测得灯塔M 在北偏西45°,问该货轮继续向北航行时,与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里,732.13≈) 综合题:三角函数与四边形:(西城二模)1.如图,四边形ABCD 中,∠BAD=135°,∠BCD=90°,AB=BC=2, tan ∠BDC=63. (1) 求BD 的长; (2) 求AD 的长.(2011东一)2.如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD F . (1)求证:∠BAE =∠DAF ; (2)若AE =4,AF =245,3sin 5BAE ∠=,求CF 的长. 三角函数与圆:1. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y 轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( )A .12 B .32C .35D .45(延庆)19. 已知:在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (1) 求证:∠AOD=2∠C(2) 若AD=8,tanC=34,求⊙O 的半径。