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三角函数题型分类总结

专题 三角函数题型分类总结一 求值问题类型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个,求另外两个方法:根据三角函数的定义,注意角所在的范围(象限),确定符号;例 4sin 5θ=,θ是第二象限角,求cos ,tan θθ类型2 给值求值例1 已知2tan =θ,求(1)θθθθsin cos sin cos -+;(2)θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.练习1、sin330︒= tan690° = o 585sin =2、(1)α是第四象限角,12cos 13α=,则sin α= (2)若4sin ,tan 05θθ=->,则cos θ= .(3)已知△ABC 中,12cot 5A =-,则cos A = .(4) α是第三象限角,21)sin(=-πα,则αcos = )25cos(απ+=3、(1)已知sin 5α=则44sin cos αα-= . (2)设(0,)2πα∈,若3sin 5α=)4πα+= .(3)已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+=4、下列各式中,值为23的是( ) (A )2sin15cos15︒︒(B )︒-︒15sin 15cos 22(C )115sin 22-︒(D )︒+︒15cos 15sin 225. (1)sin15cos75cos15sin105+= (2)cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。

6.(1) 若sin θ+cos θ=15,则sin 2θ=(2)已知3sin()45x π-=,则sin 2x 的值为(3) 若2tan =α ,则ααααcos sin cos sin -+=7. 若角α的终边经过点(12)P -,,则αcos = tan 2α=8.已知cos()22πϕ+=,且||2πϕ<,则tan ϕ=9.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+= 10.已知53)2cos(=-πα,则αα22cos sin -的值为 ( ) A .257 B .2516- C .259 D .257-11.已知sin θ=-1312,θ∈(-2π,0),则cos (θ-4π)的值为 ( )A .-2627 B .2627 C .-26217 D .26217二 最值问题 相关公式两角和差公式;二倍角公式;化一公式 例 求函数3sin 4cos y x x =+的最大值与最小值 例 求函数23sin 4sin 4y x x =+-的最大值与最小值 例.求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

练习1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。

2.函数()(1)cos f x x x =+,02x π≤<,则()f x 的最大值为3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。

4.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-,则ω的最小值等于5.设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 .6.动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ,两点,则MN 的最大值为( )A .1B .CD .27.函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1B.12+ C.32三 单调性问题 相关公式:(1) 正余弦函数的单调性; (2)化一公式例 已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.求函数()f x 的单调增区间.练习1.函数]),0[()26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( ).A. ]3,0[π B. ]127,12[ππ C. ]65,3[ππ D. ],65[ππ2.函数sin y x =的一个单调增区间是 ( )A .ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭,B .3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭,C .3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭,D .32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭,3.函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是 ( )A .5[,]6ππ--B .5[,]66ππ--C .[,0]3π-D .[,0]6π- 4. 设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ,则()f x ( )A .在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是增函数B .在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦,上是减函数 C .在区间34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是增函数D .在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是减函数四.周期性问题 相关公式:二倍角公式;化一公式;两角和差公式公式:(1) 正(余)弦型函数sin()(,0)y A x A ωϕω=+>的最小正周期2T πω=,(2)正切型函数tan()(0)y A x ωφω=+>的最小正周期T πω=, 例1 已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,求函数()f x 的最小正周期.例2 函数()|sin |f x x =的周期是 。

结论:一般情况,函数|()|f x 的周期将减半。

方法总结:求函数的周期,必须将函数化为sin()y A x k ωφ=++的形式才可以练习1.下列函数中,周期为2π的是 ( ) A .sin 2x y = B .sin 2y x = C .cos 4xy = D .cos 4y x =2.()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为5π,其中0ω>,则ω=3.函数|2sin |x y =的最小正周期是 .4.(1)函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 .(2)函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为 . 5.(1)函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是(2)函数()(1)cos f x x x =+的最小正周期为 (3). 函数()(sin cos )sin f x x x x =-的最小正周期是 . (4)函数x x x x f cos sin 322cos )(-=的最小正周期是 .6.函数1)4(cos 22--=πx y 是 ( )A .最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数7.函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 . 五 对称性问题以正弦型函数sin()(,0)y A x A ωϕω=+>为例,说明对称问题的解法: (1)求对称中心,令x k ωφπ+=,解得x ,写为(,0)x 的形式,即对称中心; (2)求对称轴,令2x k πωφπ+=+,解得0x ,则直线0x x =即为对称轴;(3)若函数是奇函数,则必有(0)0f =,即sin 0φ=,故k φπ=;若函数是偶函数,则必有(0)f A =±,即sin 1φ=±,故2k πφπ=+;例2sin(2)3y x π=+的对称中心是 ,对称轴方程是 .练习1.函数4sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 ( )A .6x π=-B .12x π=- C .6x π= D .12x π=2.下列函数中,图象关于直线3π=x 对称的是 ( )A )32sin(π-=x yB )62sin(π-=x yC )62sin(π+=x yD )62sin(π+=x y3.函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 ( )A.关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭,对称 B.关于直线π4x =对称 C.关于点π04⎛⎫⎪⎝⎭,对称 D.关于直线π3x =对称 4.如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称,那么φ的最小值为 ( ) (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π5.已知函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12,则下列判断正确的是( )A .此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π12,0B .此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π12,0C .此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0D .此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0六.图象变换问题函数sin()(,0)y A x A ωϕω=+>中,A 叫振幅,周期2T πω=,φ叫初相,它的图象可以经过函数 sin y x =的图象经过平移,伸缩变形得到,具体方法是:(1)纵向伸缩:是由A 的变化引起的.A >1,伸长;A <1,缩短.(2)横向伸缩:是由ω的变化引起的.ω>1,周期变小,故横坐标缩短;ω<1,周期变大,故横坐标伸长.(3)横向平移:是由φ的变化引起的.?>0,左移;?<0,右移. (法则:左+右-)说明:上述3种变换的顺序可以是任意的,特别注意,在进行横向平移时考虑x 前的系数,比如cos 2y x =向右平移3π个单位,应得到2cos 2()cos(2)33y x x ππ=-=-的图象 例 描述如何由sin y x =的图像得到3sin(2)4y x π=-的图像。

例 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x =C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =例 已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x xϖ=的图象,只要将()y f x =的图象A 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度例 若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后,与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合,则ω的最小值为A .16B.14 C. 13D.12练习1.函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后,得到函数y=g(x )的图象,则g(x )的解析式为2.把函数sin y x =(x R ∈)的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是3.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是4.要得到函数sin y x =的图象,只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向 平移 个单位5.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π,将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度,所得图像关于y 轴对称,则ϕ的一个值是( )A 2πB 83πC 4πD 8π6.将函数()3sin f x x x =-的图象向左平移 m (m > 0)个单位,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小正值是 ( )A. ?6B. ?3 C. 2?3 D. 5?67.若函数()θ+=x y sin 2的图象向右平移6π个单位后,它的一条对称轴是4π=x ,则θ的一个可能的值是A .125πB .3πC .6πD .12π七.识图问题例 已知函数()sin()(,0,||)2f x A x A πωφωφ=+><的图像如图所示,则712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭。

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