−
C0 K0
（6）
Step3：线性化一阶条件 定义
xt
=
⎛ ln ⎜
⎝
Xt X 0 (1+
g )t
⎞ ⎟ ⎠
推出 X t = ext X 0 (1+ g)t
① 、由（3）得到
ekt+1 K0 (1 + g )t+1 ekt K0 (1 + g )t
=1−δ
+
⎛ ⎜
⎝
eat A0 (1 + g)t ekt K0 (1+ g)t
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R = 1+ r = 1+ 0.06 / 4 G = 1+ g = 1+ 0.02 / 4
α = 0.67 δ = 0.1/ 4
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e
at
−kt
⎝
A0 K0
⎞α ⎟ ⎠
− ect −kt
C0 K0
(1 +
kt +1
−
kt
)(1 +
g)
=1−δ
+
⎛ ⎜ ⎝
A0 K0
⎞α ⎟ ⎠
(1 +
α at
− α kt
)
−
C0 K0
(1 +
ct
−
kt
)
G
+
G (kt +1
−
kt )
=1−δ
+
⎛ ⎜ ⎝
A0 K0
⎞α ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜
⎝
A0 K0
⎞α ⎟ ⎠
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实际商业周期模型
求解 RBC 模型的两大类方法：
1. Kydland and Prescott’s method: Linear-quadratic approximations. 9 RMT P72 9 Kydland and Prescott (1982) 9 Cooley and Hansen (1989)
(1 − R
α
)
⎛ ⎜ ⎝
A0 K0
⎞α ⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎦⎥
(at +1
−
kt +1 ) ⎫⎪⎬ ⎭⎪
Gkt +1
=
Rkt
+
⎡ ⎢α ⎢⎣
⎛ ⎜ ⎝
A0 K0
⎞α ⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
at
−
⎡ ⎢ ⎣
C0 K0
⎤ ⎥ ⎦
ct
Et ct+1 = bca Et at+1 + bck Et kt+1 + bccct kt+1 = bkk kt + bkaat + bkcct at+1 = ρat + εt+1
(α at
− α kt ) −
C0 K0
−
C0 K0
(ct
−
kt
)
由（6） 有
Gkt +1
=
(R)kt
+ [α ( A0 K0
)α
]at
− [ C0 K0
]ct
②
、由于 rt
= ln Rt R
， Rt
= ert R ，将（2）写为
ert R
=
(1 −
α
)
⎛ ⎜
⎝
A eat+1 0
K ekt+1 0
⎞α ⎟ ⎠
⎥⎦
β = E ⎡⎣e−γ (ct+1 −ct )+rt+1 t
GR ⎤⎦
= E ⎡⎣e ⎤⎦ −γ (ct+1−ct )+rt+1 t
最后一个等式使用了（5）。
[ ] 1 = Et −γ (ct+1 − ct ) + rt+1 +1
γ Etct+1 = γ ct + Et rt+1
Step4：研究稳态中的系数。
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step：求解如上的系统
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猜解 ct = ηck kt +ηcaat ，代入上面系统，然后使用待定系数法即可。
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将后面两个公式代入第一个，得到
因此，
Etct+1 = bca (ρat ) + bck (bkk kt + bkaat + bkcct ) + bccct = dck kt + dcaat + bccct
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Etct+1 = dck kt + dcaat + bccct kt+1 = bkk kt + bkaat + bkcct at+1 = ρat + εt+1
⎠⎦
K t +1
=
(1− δ )Kt
+
Atα
K
1−α t
− Ct
消去 λt ，得到
1=
Et
⎡ ⎢β ⎢⎣
⎛ ⎜ ⎝
Ct +1 Ct
⎞−γ ⎟ ⎠
⎤
Rt
+1
⎥ ⎥⎦
（1）
Rt +1
=
(1
−
α
)
⎛ ⎜
⎝
At +1 K t +1
⎞α ⎟ ⎠
+1−δ
（2）
Step2：非随机稳态
K t +1 Kt
=
(1
−
δ
)
+1−δ
(1 +
rt
)R
=
(1 − α
)
⎛ ⎜ ⎝
A0 K0
⎞α ⎟ ⎠
(1 +
α
(at +1
−
kt +1 ))
+1−
δ
rt
R
=
(1− α
)
⎛ ⎜ ⎝
A0 K0
⎞α ⎟ ⎠
(α
at +1
−
α kt+1)
③、将（1）写为
1=
Et
⎡ ⎢β ⎢⎣
⎛ ⎜ ⎝
ect+1 ect
⎞−γ G⎟
⎠
⎤ ert+1 R ⎥
s.t.
Yt
=
Atα
K
1−α t
= Ct
+ It
Kt+1 = (1− δ )Kt + It
ln At+1 = ρ ln At + (1− ρ )gt + εt
以下是求解过程。 Step 1：写出一阶条件
max EΣ∞j=0β ju(C j )
s.t. 一阶条件为
Kt+1 − (1 − δ )Kt − Atα Kt1−α + Ct = 0
2. KPR’s method: solving systems of first order conditions 9 KPR (1988) 9 Cochrane 9 Campbell (199）
max E ⎡⎣Σ∞j=0β ju(C j )⎤⎦
⎞α ⎟ ⎠
−
ect C0 (1+ g)t ekt K0 (1+ g )t
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ekt+1−kt (1 + g ) = 1− δ
+
⎛ ⎜
u '(Ct ) = λt
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λt
=
β Et
⎡ ⎢λt ⎣
+1
⎛ ⎜ ⎝
(1
−
α
)(
At +1 K t +1
)α
+
(1
−
δ
)
⎞⎤ ⎟⎥
β = Gγ / R （由（4））
⎛ ⎜ ⎝
A0 K0
⎞α ⎟ ⎠
=
r +δ 1−α
（由（5））
C0 K0
=
⎛ ⎜
⎝
A0 K0
⎞α ⎟ ⎠
− (g
+δ)
=
r +δ 1−α
− (g
+δ)
等等。。。。
step5：合并所有方程
Et ct +1
=
ct
+
1 γ
Et rt+1
=
ct
+
1 γ
Et
⎧⎪⎨⎡⎢α ⎩⎪⎣⎢
+
⎛ ⎜
⎝
At Kt
⎞α ⎟ ⎠
−
Ct Kt
（3）
猜稳态中 Y、C、I、A 和 K 都以同样的速度 G = 1+ g 增长。那么，稳态值为 X 0Gt 。
从而，
1 = βG−γ R （4）
R
=
(1
−
α
)
⎛ ⎜
⎝
A0 K0
⎞α ⎟ ⎠
+
(1− δ
) （5）
G
=
(1 −
δ
)
+
⎛ ⎜
⎝
A0 K0
⎞α ⎟ ⎠