0 1/2
网
，|10〉 ，|1-1〉 。将Y11按它们展开： Lx本征值仅有三个：ħ，0，-ħ， 对应本征函数记为：|11〉 |Y11〉=a|11〉+b|10〉+c|1-1〉,则 a2,b2,c2分别是在Y11态中测得Lx的本征值取ħ，0，-ħ的概率。 于是：
−ħ 1/4
− λr
5-4 设粒子状态为ψ = A( x + y + 2 z )e (a) L2的取值 (b) Lz (c) Lz= ħ的概率
将Y11按L2,Lz共同本征函数展开：
课
后
答
|Y10〉=a|11〉+c|1-1〉 ，不含|10〉项。立即可得： <10| Y10〉=a<10|11〉+c<10|1-1〉=0+0=0 即Lx=0 的本征函数与Lz=0 的本征函数（Y10）正交。同理可证，Ly=0 的本征函数与Lz=0 的 本征函数（Y10）正交，Lx=0 的本征函数与Ly=0 的本征函数正交。
⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Y11 = ⎜ 0 ⎟ Y10 = ⎜ 1 ⎟ Y1−1 = ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
kh
da
h2 < Y10 | (0+ | Y10 > + | Y10 > +0) = h 2 2
w.
< Y10 | L2 x | Y10 >=
网
ww
⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ φ1 = ⎜ 0 ⎟ φ0 = ⎜ 1 ⎟ φ−1 = ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
案
，
w.
kh
Lz的本征函数为：
⎛1⎞ 2⎜ ⎟ < φ0 | ψ 0 >= (0,1,0) ⎜0⎟ = 0 2 ⎜ ⎟ ⎝1⎠
da
⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 1⎜ 2⎜ ⎟ 1⎜ 1⎜ 1⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ϕ1 = ⎜ 2 ⎟ ϕ 0 = ⎜ 0 ⎟ ϕ−1 = ⎜ − 2 ⎟ ψ 1 = ⎜ i 2 ⎟ ψ 0 = ⎜ 0 ⎟ ψ −1 = ⎜ − i 2 ⎟ 2⎜ 2 ⎜ ⎟ 2⎜ 2⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ − 1⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ −1 ⎠
1 1 < Y10 | ( L+ + L− ) 2 | Y10 >= < Y10 | ( L+ + L− )h 2 (| Y11 > + | Y1−1 >) 4 4
co
而 L± | Ylm >= h (l m m)(l ± m + 1) | Ylm±1 > ，所以，在Y10中的平均值为：
m
展开系数分别为：
1 i ( L+ + L− ) ， L y = ( L− − L+ ) 2 2
L2 x =
1 1 ( L+ + L− ) 2 , L2 ( L+ − L− ) 2 y = − 4 4
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 < Y10 | L2 x | Y10 >= a h + b × 0 + c h = ( a + c )h = h ，即： a + c = 1
5-3 求Y11态下Lx的可能测值及相应概率，用下述两种方法。 (a) 将Y11按L2,Lz共同本征函数展开。 (b)对Y11态计算Lx及Lx2的平均值。 解：(a) 在L2,Lz表象中，Lx和Lz对应本征值(ħ,0,−ħ)的本征态分别为： Lx= ħ, 0, −ħ Lz= ħ, 0, −ħ
⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ 1⎜ 2⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ ϕ1 = ⎜ 2 ⎟ ϕ 0 = ⎜ 0 ⎟ ϕ−1 = ⎜ − 2 ⎟ 2⎜ 2 ⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ − 1⎠ ⎝ 1 ⎠
w.
co
即：
m
⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ 1⎜ 2⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ ϕ1 = ⎜ 2 ⎟ ϕ 0 = ⎜ 0 ⎟ ϕ−1 = ⎜ − 2 ⎟ 2⎜ 2 ⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ − 1⎠ ⎝ 1 ⎠
⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Y11 = ⎜ 0 ⎟ Y10 = ⎜ 1 ⎟ Y1−1 = ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
w.
co
Lx=
ħ,
0,
−ħ
m
Ly=
ħ,
0,
−ħ
，
2 2 (Y11 − Y1−1 ) >= (< Y10 | Y11 > − < Y10 | Y1−1 >) = 0 2 2
1
< φ0 | ψ 0 >=< Y10 | < ψ 0 | ϕ 0 >=<
2 2 (Y11 + Y1−1 ) >= (< Y10 | Y11 > + < Y10 | Y1−1 >) = 0 2 2
利用球谐函数的正交性：
课
⎛1⎞ 2 2⎜ ⎟ 1 (1,0,1) < ψ 0 | ϕ 0 >= ⎜ 0 ⎟ = (1 + 0 − 1) = 0 2 2 ⎜ ⎟ 2 ⎝ − 1⎠
后
< φ0 | ϕ 0 >=< Y10 |
答
⎛1⎞ 2⎜ ⎟ < φ0 | ϕ 0 >= (0,1,0) ⎜ 0 ⎟=0 2 ⎜ ⎟ ⎝ − 1⎠
L z=
ħ,
0,
−ħ
容易验证正交关系：
⎛ Y11 ⎞ ⎜ ⎟ 即三者正交。或者在坐标表象中， φ0 = (0,1,0)⎜ Y10 ⎟ = Y10 ， ⎜Y ⎟ ⎝ 1−1 ⎠ ⎛ Y11 ⎞ ⎛ Y11 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 2 ϕ0 = (1,0,−1)⎜ Y10 ⎟ = (Y11 − Y1−1 ) ，ψ 0 = (1,0,1)⎜ Y10 ⎟ = (Y11 + Y1−1 ) ， 2 2 2 2 ⎜Y ⎟ ⎜Y ⎟ ⎝ 1−1 ⎠ ⎝ 1−1 ⎠
2 2 1 (Y11 + Y1−1 ) | (Y11 − Y1−1 ) >= (< Y11 | Y11 > +0 − 0− < Y1−1 | Y1−1 >) = 0 2 2 2
此结果不依赖本征函数的具体形式的理论证明如下： l =1 时，m=1，0，−1。Lz =0 的本征函数为Y10， 利用升降算符表示 Lx,Ly： Lx =
Lx测值 概率=|系数|
2
ħ 1/4
0 1/2
−ħ 1/4
(b) 利用升降算符表示： Lx =
而 L± | Ylm >= h (l m m)(l ± m + 1) | Ylm±1 > ，利用Ylm的正交性，在Y11中的平均值为：
< Y11 | Lx | Y11 >=
后
归一化： < Y11 | Y11 >= a + b + c = 1 ，利用上式，得：b2=1/2。于是
Hale Waihona Puke ⎛ 0⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ 2⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ 2 ϕ0 = (Y11 − Y1−1 ) ⎜ 0⎟ = ⎜0⎟ + − ⎜ 0 ⎟= 2 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2 ⎝1⎠ ⎝0⎠ ⎝ − 1⎠
kh
da
⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ 1⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ 1 2 1 ϕ1 = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + Y10 + Y1−1 ， ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ = Y11 + 2⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ 2 2 2 ⎝1⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 1 ⎠
E = T +V =
1 2 p − λ r −3 / 2 ，由不确定关系： 2m
ΔrΔp ~ r p ~ h
E = T +V = h 2 −2 1 2 1 2 p − λ r −3 / 2 ≈ p − λ r −3 / 2 ≈ r − λ r −3 / 2 2m 2m 2m
4
ww
−3 / 2
w.
(λ > 0) 中运动， 试用不确定关系估算基态能
w.
co
m
1 1 ( L+ + L− ) ， L2 ( L+ + L− ) 2 x = 2 4
(b) 设对应Lz三个本征值ħ，0，-ħ的本征态的展开系数分别为a,b,c, 则相对概率之比为： a2：b2：c2=1：4：1，归一化得概率为： Lz测值 概率=|系数|
2
ħ 1/6
0 4/6=2/3
−ħ 1/6
解：利用球谐函数的具体形式，可以将态写为：
ψ = Are −λr
i +1 4π i − 1 ( Y11 + 2Y10 + Y1−1 ) 3 2 2
(a) 可见为L2的属于l=1 的本征态，故：L2的取值=l(l+1) ħ2=2 ħ2
3
ww
, ( λ > 0) 求
(d) Lx的可能测值及相应概率。
w.
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 1 2 2 ， (1,0,−1)⎜ 0 ⎟ = a =< ϕ1 | Y11 >= (1, 2 ,1)⎜ 0 ⎟ = ， b =< ϕ 0 | Y11 >= 2 2 2 ⎜0⎟ 2 ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 1 1 2 1 1 c =< ϕ −1 | Y11 >= (1,− 2 ,1)⎜ 0 ⎟ = ，于是： Y11 = ϕ1 + ϕ 0 + ϕ −1 2 2 2 2 ⎜0⎟ 2 ⎝ ⎠