pˆ12ψ (1,2) =ψ (2,1)
∴ pˆ12ψ (1,2) = λψ (1,2)
这就是交换算符的本征值方程. 且λ就是其本征值.
又有: pˆ12 pˆ12ψ (1,2) = pˆ12λψ (1,2) = λpˆ12ψ (1,2) = λ2ψ (1,2) ∴ pˆ122ψ (1,2) = λ2ψ (1,2)
问题: 量子力学中是否存在没经典对应量的力学量?
对由多个粒子组成的系统,量子力学中还有其它 新的基本假设吗?
能够举一些使用量子力学去解决实际问题的例子 吗?
§1、电子的自旋
一、实验与假设: 1) 斯特恩―盖拉赫实验 1921年，施忒恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）发现 一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。
∵ pˆ122ψ (1,2) = pˆ12ψ (2,1) =ψ (1,2)
∴ λ2ψ (1,2) =ψ (1,2)
λ2 =1
λ =1
λ = −1
对λ=1有: 对λ=−1有:
pˆ12ψ (1,2) =ψ (1,2)
pˆ12ψ (1,2) = −ψ (1,2)
称为对称性波函数. 称为反对称性波函数.
可以证明: 全同粒子的波函数的这种交换对称性是不随时间 改变的.
2)自旋角动量算符的本征值与自旋量子数:
① 由于电子的自旋角动量它在空间任何方向的投影只取两个值 Sz=± /2.这就是说:
Sˆx,Sˆy,Sˆz 的所有可能的测得值只有+ /2和- /2.因此, 这就是它 们所有可能的本征值
②
S2的本征值:
S
2 x
=
S
2 y
=
S
2 z
=
1 4
2
S
2
=
S
2 x
+
S
Sz
=
+
1 2
时
ms
=
1 2
Sz
=
−
1 2
时
ms
=
−
1 2
这里ms被称为自旋量子数. 且有:
χ
1 2
=

1 0

χ −1 2
=

0 1

这里 χ 1
和
χ −1
构成一组正交归一化的完备的本征函数系
2
2
χ
+ 1
(S
z
)χ
−Leabharlann 1(Sz)
=
0
2
2
χ
+ 1
(
S
z)χ
1
(S
z)
=
χ
+ −1
① 每个电子具有自旋角动量S,它在空间任何方向的投影只 取两个值Sz=± /2.
② 每个电子具有自旋磁矩Ms, 且有:
M
s
=
−
e m
S
③ 自旋磁矩在空间任意方向的投影也只取两个值:
Msz
=
±
e 2m
=
M
B
MB被称为玻尔磁子.
二、电子自旋角动量算符
1)电子自旋角动量:
定义算符 S 满足: Sˆ × Sˆ = i Sˆ
σˆ
y
=

0 i
−i 0

Sˆx
=
1 2
σˆ
x
=
1 2

0 1
1 0

Sˆ y
=
1 2
σˆ
y
=
1 2

0 i
−i 0

三、考虑电子自旋后对波函数的影响:
1) 自旋的存在使电子增加了一个新的自由度.
电子的ψ(r,t)确定
电子在各处出现的几率确定
但电子的状态却还没最后确定
∴ pˆ12 Aˆ un(1,2) = Aˆ pˆ12un(1,2) Aˆ pˆ12un(1,2) = Aˆ un(2,1) = anun(2,1)
注意到{un(1,2)}的完备性, 对任意波函数ψ(1,2)有:
ψ (1,2) = ∑cnun(1,2)
n
pˆ12
Aˆ ψ
(1,2)
=
pˆ12
Aˆ ∑
n
它是指所有的1和2的有关量之间的交换. 如氦原子中的两个电子组成的体系, 其哈密顿量为:
Hˆ = pˆ12 + pˆ 22 − 2e2 − 2e2 + e2
2m 2m 4πε 0r1 4πε 0r2 4πε 0 r1 −r2
显然有: 当两个电子交换表现为, H中的p1和p2的交换, 以及r1和 r2的交换. 但在这种交换下H保持不变.
右边 : pˆ12Eψ (1,2) = Epˆ12ψ (1,2) = Eψ (2,1)
∴ pˆ12Hˆψ (1,2) = Eψ (2,1) 又有: Hˆψ (2,1) = Eψ (2,1)
Hˆψ (2,1) = Hˆpˆ12ψ (1,2)
∴ pˆ12Hˆψ (1,2) = Hˆpˆ12ψ (1,2)
ψ(1,2)为满足薛定格方程的任意波函数, 所以:
pˆ12 Hˆ = Hˆ pˆ12
③ 交换算符p12与任何力学量算符A对易:
设un(1,2)为A的本征值为an的本征波函数, 则有: Aˆ un(1,2) = anun(1,2)
有: pˆ12 Aˆ un(1,2) = pˆ12anun(1,2) = an pˆ12un(1,2) = anun(2,1)
② 经典物理的观念与全同性是互不相容的: 在经典物理的框架内, 既使考虑全同性, 也不能有新的结论.
③波函数的几率解释(量子力学的统计决定论)与全同性原理 的一致性. ④ 量子化现象与全同性原理. 二、交换算符及其性质:
1) 交换算符与任意力学量算符的对易性: ① 交换算符: 使用p12来表示对粒子1和2之间的交换操作.
|b|2=|χ(- /2)|2表示自旋Sz=- /2的几率.
( ) 归一化条件为: χ + χ = a *
b*

a b

=
a2+
b2
=1
4) Sz的本征态:
本征值方程: Sˆz χms (Sz ) = Sz χms (Sz ) = ms χms (Sz )
其中 χms (Sz) 为本征值为Sz的本征态,ms 为Sz的本征值, 且有当:
虽然电子在各处出现的几率相 同但它们的自旋还可能不同.
自旋的存在使电子增 加了一个新的自由度.
2)考虑自旋后电子的波函数: 由于电子的自旋在任何方向的投影Sz只取两个可能的值, 所 以使用二分量波函数是方便的.即:
ψ
= ψψ((rr,−, 1212
)
)
ψ (r ,1
2
所以有:
σˆ
x
=

0 b*
b 0

又由:
σˆ
2 x
=
1
b 2 = 1 可取 b = 1
σˆ
2 x
=

b2 0
0 b2

=
1
所以有:
σˆ x = 10
1 0

③ σy在Sz表表象中的表示: 由:
σˆ
y
=
1 2i
[σˆ
z
,σˆ
x
]
④ Sx,Sy在Sz表表象中的表示:
Sˆ = Sˆxiˆ + Sˆy ˆj + Sˆzkˆ
Sˆ × Sˆ = (SˆySˆz − SˆzSˆy )iˆ + (SˆzSˆx − SˆxSˆz ) ˆj + (SˆxSˆy − SˆySˆx)kˆ
[Sˆx, Sˆy ] = i Sˆz
[Sˆy, Sˆz ] = i Sˆx [Sˆz, Sˆx] = i Sˆy
S
原子炉
准直屏
N 磁铁
2)对有关实验结果的分析: 实验内容: 以处于S态的氢原子通过非均匀磁场为例来进行分析.
① 非均匀磁场: 若外磁场沿z方向, 磁矩在外磁场中的势能为
U = −M ⋅B = −MBz cosθ
Fz
= − ∂U ∂z
=M
∂Bz ∂z
cosθ
非均匀磁场
射线的偏转表明：S 态的氢原子具有磁矩
用p12来表示这种交换操作. 以ψ(1,2)来表示两个电子的波函数, 则有:
pˆ12ψ (1,2) =ψ (2,1)
这里p12被称为交换算符.
② 交换算符与哈密顿算符对易:
哈密顿算符的本征值方程为: 两边用交换算符作用后可得:
Hˆψ (1,2) = Eψ (1,2) pˆ12Hˆψ (1,2) = pˆ12 Eψ (1,2)
证明：
σˆ
σˆ
x
y
+
σˆ
σˆ
y
x
=
1 2i
(σˆ
σˆ
y
z
−
σˆ
σˆ
z
y
)σˆ
y
+
1 2i
σˆ
y
(σˆ
σˆ
y
z
−σˆ
σˆ
z
y
)
=
1 2i
(σˆ
yσˆ
zσˆ
y
−
σˆ
zσˆ
2 y
+
σˆ
y2σˆ
z
−
σˆ
yσˆ
zσˆ
y
)
=
0
[σˆ x ,σˆ y ]+ = σˆ xσˆ y + σˆ yσˆ x = 0
4) 自旋角动量算符的表示:
归一化条件:
∫ ∫ ψ *ψdr = ψ * (r , 1 ),