习题三1、 设(,)X Y 的分布律为1231161911821319X Y a 求a 。

解：由分布律的性质，得1,0ij i jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >，解得，29a =。

注：考察分布律的完备性和非负性。

2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：(1){,}P a X b Y c ≤≤<；(2){0}P Y b <<；(3){,}P X a Y b ≥<．解：根据分布函数的定义X ，得 (1){,}{,}P a X b Y c P X b Y c ≤≤<=≤<；{,}(,)(,)P X a Y c F b c F a c ----<<=-(2){0}{,}{,0}P Y b P X Y b P X Y <<=≤+∞<-≤+∞≤(,)(,0)F b F -=+∞-+∞(3){,}{,}{,}P X a Y b P X Y b P X a Y b ≥<=≤+∞<-<<(,)(,)F b F a b ---=+∞-3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：123411411621161401430116116X Y试求：(1)13{,04}22P X Y <<<<；(2){12,34}P X Y ≤≤≤≤；(3)(2,3)F ．解：由(,)X Y 的分布律，得(1)13{,04}22P X Y <<<< {1,1}{1,2}{1,3}P X Y P X Y P X Y ===+==+==115041616=++=； (2){12,34}P X Y ≤≤≤≤{1,3}{1,4}P X Y P X Y ===+== {2,3}{2,4}P X Y P X Y +==+==110001616=+++=；(3)(2,3){2,3}F P X Y =≤≤{1,1}{1,2}P X Y P X Y ===+== {1,3}{2,1}P X Y P X Y +==+== {2,2}{2,3}P X Y P X Y +==+==。

11115004164168=+++++=4、设X，Y为随机变量，且{0,0}3/7,P X Y≥≥={0}{0}4/7P X P Y≥=≥=求{max(,)0}P X Y≥解{max(,)0}{(0)(0)}5 {0}{0}{0,0}7P X Y P X YP X P Y P X Y≥=≥⋃≥=≥+≥-≥≥=。

注：此题关键在于理解{max(,)0}X Y≥表示{(0)(0)}X Y≥⋃≥，然后再根据概率的加法公式。

5、(,)X Y只取下列数值中的值：(0,0),(1,1),(1,1/3),(2,0)--，且相应概率依次为1115,,,631212。

请列出(,)X Y的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布．解：（1）根据(,)X Y的全部可能取值以及相应概率，得(,)X Y 的概率分布表为10216512131120011300X Y -（2）根据Y 的边缘分布与联合分布的关系，得{}1020016512712131120011211313X P Y j Y -=所以，Y 的边缘分布为 013171211213k Y p6、设随机向量(,)X Y 服从二维正态分布22(0,0,10,10,0)N ，其概率密度函数为222001(,)200x y f x y eπ+-=，求{}P X Y ≤．解：由图形对称性，得{}{}P X Y P X Y ≤=>，故1{}2P X Y ≤=。

注：本题的求解借助与图形的特点变得很简单，否则若根据概率密度函数的性质3进行求解会相对复杂些。

7、设随机变量(,)X Y 的概率密度为(6),02,24(,)0,其它k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩，（1）确定常数k ；（2）求{1,3}P X Y <<； （3）求{ 1.5}P X <；（4）求{4}P X Y +≤．分析：利用{(,)}(,)(,),oGG D P X Y G f x y dx dy f x y dx dy ⋂∈==⎰⎰⎰⎰再化为累次积分，其中{}(,)02,24o D x y x y =<<<< 解：（1）由概率密度函数的完备性，得24021(,)(6)8,f x y dx dy k x y dydx k +∞+∞-∞-∞==--=⎰⎰⎰⎰解得18k =。

（2）131302(1,3)(,)13(6)88P X Y f x y dxdydx x y dy -∞-∞<<==--=⎰⎰⎰⎰； （3）1.51.5402( 1.5)( 1.5,)(,)127(6);832P X P X Y f x y dxdydx x y dy ∞-∞-∞≤=≤<∞==--=⎰⎰⎰⎰（4）42400(4)(,)12(6)83x y xP X Y f x y dxdydx x y dy +≤-+≤==--=⎰⎰⎰⎰。

8、已知X 和Y 的联合密度为,01,01(,)0,其它cxy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩， 试求：（1）常数c ；（2）X 和Y 的联合分布函数(,)F x y ．解：（1）由概率密度函数的完备性，得1100111(,)22f x y dxdy cxydxdy c ∞∞-∞-∞===⋅⋅⎰⎰⎰⎰，解得4c =。

（2）(,)(,)x yF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰0010010011000,004,01,014,01,14,1,014,1,1或x yx yx y uvdvdu x y uvdvdu x y uvdvdu x y uvdvdu x y <<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪⎪≤≤>=⎨⎪>≤≤⎪⎪⎪>>⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22220,0001,0101,11,0111,1或x y x y x y x x y y x y x y <<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪>>⎪⎩。

9、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为4.8(2),01,0(,)0,其它y x x y xf x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩求边缘概率密度()Y f y ．解：12 4.8(2),01()(,)0,2.4(34),01.0,其它其它yY y x dx y f y f x y dx y y y y +∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎧-+≤≤=⎨⎩⎰⎰10、设(,)X Y 在曲线2y x =，y x =所围成的区域G 内服从均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度．解：据题意知，区域G 的面积为21016x G x S dydx ==⎰⎰，由于(,)X Y 在区域G 内服从均匀分布， 故(,)X Y 的概率密度函数为1,(,)6,(,)(,)0,0,其它其它G x y G x y GS f x y ⎧∈∈⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩。

226,01()(,)0,6(),010,其它其它x x X dy x f x f x y dy x x x +∞-∞⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩⎧-≤≤=⎨⎩⎰⎰，6,01()(,)0,),010,其它其它y Y dx y f y f x y dx y y +∞-∞⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩⎧-≤≤=⎨⎩⎰⎰。

注：此题求解首先必须画出区域G 的图形。

然后根据图形确定积分上下限。

11、二维随机变量(,)X Y 的分布律为107157301730115X Y（1）求Y 的边缘分布律；（2）{0|0}P Y X ==，{1|0}P Y X ==；（3）判定X 与Y 是否独立？解：（1）由边缘分布与联合分布的关系，知{}010715*******730115310X P Y j Y =所以，Y 的边缘分布律为 010.70.3i Y p（2）{0,0}{0|0}{0}{0,0}{0,0}{0,1}7/1527/157/303P X Y P Y X P X P X Y P X Y P X Y ===========+====+，{1|0}P Y X == {0,1}{0}{0,1}{0,0}{0,1}7/3017/157/303P X Y P X P X Y P X Y P X Y =========+====+； （3）根据二维随机变量(,)X Y 的分布律可知其边缘分布律{}{}01071573071017301153107103101XP Y j YP X i ==由于{0,0}{0}{0}P X Y P X P Y ==≠==，所以X 与Y 不独立。

12、设随机变量X 的概率密度为||1(),2x f x e x -=-∞<<∞，问：X 与||X 是否相互独立?解：【法一】任意给定0a >0{}()111(2)222a a x x aP X a f x dxe dx e dx e -∞---∞<==+=-⎰⎰⎰||001{||}()211122a a x a a a x x a a P X a f x dx e dxe dx e dx e ------<===+=-⎰⎰⎰⎰||00{,||}{||}1()211122aax a a a x x a a P X a X a P X a f x dx e dx e dx e dx e ------<<=<===+=-⎰⎰⎰⎰所以{,||}{}{||}P X a X a P X a P X a <<≠<<，因而X 与||X 不独立。

【法二】若X 与||X 相互独立，则对任意0a >，有{,||}{}{||}P X a X a P X a P X a <<=<<，而{||}{}X a X a <⊂<，即{,||}{||}P X a X a P X a <<=<，所以，{||}{}{||}{||}(1{})0P X a P X a P X a P X a P X a <=<<⇒<-<=，解得，{||}0P X a <=或1{}P X a =<，很显然这是不成立的，故X 与||X 不是相互独立的。

13、将某一医药公司9月份和8月份的青霉素制剂的订货单数分别记为X 与Y 。

据以往积累的资料知，X 和Y 的联合分布律为5152535455510.060.050.050.010.01520.070.050.010.010.01530.050.100.100.050.05540.050.020.010.010.03550.050.060.050.010.03X Y (1)求边缘分布律；（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律． 解：（1）由联合分布律与边缘分布律的关系，得{}{}5152535455510.060.050.050.010.010.18520.070.050.010.010.010.15530.050.100.100.050.050.35540.050.020.010.010.030.12550.050.060.050.010.030.200.280.280.220.090.131X P Y j Y P X i ==（2）{51,51}0.061{51|51},{51}0.183P X Y P X Y P Y ========{52,51}{52|51}{51}0.0550.1818P X Y P X Y P Y ========，{53,51}{53|51}{51}0.0550.1818P X Y P X Y P Y ========，{54,51}{54|51}{51}0.0110.1818P X Y P X Y P Y ========，{55,51}{55|51}{51}0.0110.1818P X Y P X Y P Y ========，8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律为51515253545513518518118118X Y p =14、已知(,)X Y 的分布律如表所示，01201418010*********X Y求：（1）在1Y =的条件下，X 的条件分布律；（2）在2X =的条件下，Y 的条件分布律．解：根据联合分布律可得边缘分布律，如下：{}{}0120141803810130132160187245121124181X P Y j YP X i ==（1） 根据上表，可得（2） {0,1}{0|1}{1}0013P X Y P X Y P Y ========，{1,1}{1|1}{1}1/311/3P X Y P X Y P Y ========，{2,1}{2|1}{1}001/3P X Y P X Y P Y ========，所以，在1Y =的条件下，X 的条件分布律为 1012010X Y p =（3） 根据上表，可得（4） {2,0}{0|2}{2}001/8P X Y P Y X P X ========，{2,1}{1|2}{2}001/8P X Y P Y X P X ========，{2,2}1/8{2|2}1{2}1/8P X Y P Y X P X ========，所以，在2X =的条件下，Y 的条件分布律为2012001Y X p =15、已知(,)X Y 的概率密度函数为3,01,0(,)0,其它x x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩，求：（1）边缘概率密度函数；（2）条件概率密度函数． 解：（1）20()(,)3,013,010,0,其它其它X xf x f x y dyxdy x x x ∞-∞=⎧⎧<<<<⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰；12()(,)33,01(1),0120,0,其它其它Y y f y f x y dxxdx y y y ∞-∞=⎧⎧<<-<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰； （2）当01x <<时，|2(,)(|)()31,0,030,0,其它其它Y X X f x y f y x f x x y x y x x x =⎧⎧<<<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩； 当01y <<时，|22(,)(|)()32,1,13(1)(1).20,0,其它其它X Y Y f x y f x y f y x x y x y x y y =⎧⎧<<⎪<<⎪⎪--==⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩注：此题求解时最好画出联合密度函数不为零时的区域，以便准确的确定自变量的取值或积分上下限。