指数函数和对数函数
重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。

难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x
a
==，l o g 在a >1及01<<a 两种不同情况。

1、指数函数：
定义：函数()
y a a a x
=>≠01且叫指数函数。

定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。

为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。

因为若a <0时，()y x
=-4，当x =
14
时，函数值不存在。

a =0，y x
=0，当x ≤0，函数值不存在。

a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但
y x
=1的反函数不存在， 因为要求函数y a x
=中的
a a >≠01且。

1、对三个指数函数y y y x
x
x ==⎛⎝ ⎫⎭
⎪=21210，，的图象的
认识。

图象特征与函数性质：
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0时，y x
=10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10222--<。

②y x
=2与y x
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪12的图象关于y 轴对称。

③通过y x =2，y x =10，y x
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的
示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
13也由
关于y 轴的对称性，可得y x
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

2、对数：
定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a
=l o g （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。

） 由于N a b
=>0
故log a N 中N 必须大于0。

当N 为零的负数时对数不存在。

（1）对数式与指数式的互化。

由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：
求lo g .032524⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524⎛⎝
⎫
⎭
⎪=x ，再改写为指数式就比较好办。

解：设log .032524⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=x
则即∴即032
524
82582512
5241
212
032.log .x
x
x =
⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭
⎪=-
⎛⎝ ⎫⎭
⎪=-
-
评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。

如求35x =中的x ，化为对数式x =log 35即成。

（2）对数恒等式：
由a N b N b
a
==()l o g ()12 将（2）代入（1）得a N a
N
l o g
=
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。

计算：
()
3
13
2
-log 解：原式==⎛⎝ ⎫
⎭
⎪-=3
1312
222
13
1
3
lo g lo g 。

（3）对数的性质：
①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。

（4）对数的运算法则：
①()()l o g l o g l o g a a a
M N M N M N R =+∈+
， ②()
l o g l o g l o g a
a a M N
M N M N R =-∈+
， ③()()l o g l o g a n a
N n N N R =∈+
④()l o g l o g a n
a
N n
N N R =∈+
1
3、对数函数：
定义：指数函数y a a a x
=>≠()01且的反函数
y x a
=l o g x ∈+∞(,)0叫做对数函数。

1、对三个对数函数y x y x ==l o g l o g 21
2
，， y x =lg 的图象的认识。

图象特征与函数性质：
（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y x =l o g 2
与y x =lg 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0时，y x =l o g 2的图象在y x =lg 的图象上方；而01<<x 时，y x =l o g 2的图象在y x =lg 的图象的下方，故有：l o g .l g.21515>；l o g .l g.20101<。

（2）y x =l o g 2
的图象与y x =log 12
的图象关于x 轴对称。

（3）通过y x =l o g 2
，y x =lg ，y x =log 12
三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作y x =l o g 3的图象，它一定位于y x =l o g 2和y x =lg 两个图象的中间，且过点（1,0），x >0时，在y x =lg 的上方，而位于y x =l o g 2
的下方，01<<x 时，刚好相反，则对称性，可知y x =log 13
的示意图。

因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

4、对数换底公式：
l o g l o g l o g l o g (.)l o g b
a
a
n e
g N N b LN N e N L N N ====其中…称为的自然对数称为常数对数27182810
由换底公式可得：
L N N e N
N n
===l g l g l g ..l g 04343
2303 由换底公式推出一些常用的结论：
（1）l o g l o g l o g l o g a
b
a b
b a b a ==1
1或·
（2）log log a m
a n
b
m n
b =
（3）l o g l o g a
n
a n
b b = （4）log a m n
a m n
=
5、指数方程与对数方程* 定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。

在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。

由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。

指数方程的题型与解法：。