【特征】：点A、B在直线m异侧，在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大 【原理】：两点之间线段最短
解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’ 交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值 为AB’
简析：如下图，作点B关于直线m 的对称点，由 对称可知PB=PB’，当点P不与点A、B共线时， 此时点P、A、B’构成三角形，由三角形三边关 系可知<AB，当P与点A、B’共线时，=AB，所 以，AB的延长线与直线m的交点即为所求点P， 即PA与PB的差的最大值为AB.
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
【特征】：A，B为定点在直线m两侧，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值 【原理】：两点之间线段最短
简析：连接AB交直线于点P，即为所求，知识依 据为“两点之间，线段最短”
解题小锦囊：三点共线
AA
P
mm
BB
一定两动
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
解题小锦囊：三点共线知识点
x C A
By
模型实例
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
如图，已知直线y＝1 x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，
抛物线y＝
1
x
2 ²＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．
2
（1）求该抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．
解题小锦囊：三点共线
AA B'
mm
P'
BP
B
模型实例
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
如图，抛物线y＝－1 x 2－x＋2的顶点为A，与y 轴交于点B． 4
(1)求点A、点B的坐标； (2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA－PB≤AB； (3)当PA－PB最大时，求点P的坐标.
解题小锦囊：三点共线知识点
简析：如下图，当点P不与点A、B共线时，此时 点P、A、B构成三角形，由三角形三边关系可知 <AB，当P与点A、B共线时，=AB，所以，AB 的延长线与直线m的交点即为所求点P，即PA与 PB的差的最大值为AB.
解题小锦囊：三点共线
BB P
AA
m
P'
m
线段差最值
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
解题小锦囊：三点共线知识点
y
Ay D OB C
E x
模型实例
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
抛物线的解析式为 y x2 2x 3 ，交x轴与A与B,交y轴于C， ⑴在其对称轴上是否存在一点P，使⊿APC周长最小，若存在，求其坐标。 ⑵在其对称轴上是否存在一点Q，使∣QB—QC∣的值最大，若存在求其坐标。
简析：如图，结合“两点之间线段最短”和“圆的半径不变 性”可得直接连接OA即可得解.
解题小锦囊：三点共线
OO B'
B
P' P
mm
A A
线段差最值
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
【特征】：点A、B在直线m同侧，在一条直线m上，求一点P，使PA-PB的差最大 【原理】：两点之间线段最短
解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之 差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB 此时最大，因此点P为所求的点。
【特征】：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小 【原理】：两点之间线段最短
简析：如下图，结合“两点之间线段最短”、 “垂线段最短”可得.
解题小锦囊：三点共线
B
nn
P
mm
AA
一定两动
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
【特征】：两点在直线两侧,点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小 【原理】：两点之间线段最短AP'+PB
第一讲
线段最短和最长距离
CONTENTS
1 技巧讲解 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
初中数学知识点精讲课程
线段最短和最长距离
本节知识点是以将军饮马知识点为基础 将军饮马知识点不会的先学将军饮马哦
课堂预知
线段最短 最长距离
轴对称最值 折叠最值
两点之间线段最短 三角形三边关系
已知两个定点
简析：作点A关于直线m的对称点A’，由对称 可知PA=PA’，所以PA+PB就转化为PA’+PB， 结合“两点之间线段最短”、“垂线段最短”可 得.
解题小锦囊：将军饮马知识点
nn
B
AA
P
mm
A'
两动点一定点
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
【变式二】：点A,B与圆在直线同侧,点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小 【原理】：两点之间线段最短
A P
B l
B'
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
线段差最大： |PA-PB|最大，需转化 使点在线同侧
已知两个定点
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
【特征】：A，B为定点在直线同侧，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值 【原理】：两点之间线段最短 【转化】：作其中一个定点关于定直线l的对称点
简析：如图，作点A关于直线m的对称点A’， 结合“两点之间线段最短”和“圆的半径不变性” 可得直接连接OA’即可得解.
解题小锦囊：将军饮马知识点
模型实例
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
如图，已知直线y＝1 x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，
抛物线y＝
1
x
2 ²＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．
2
（1）求该抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．
简析：作点A关于直线m的对称点A’，连接 A’B与直线m的交点即为所求，由对称可得 PA=PA’,PA+PB最小值即为PA’+PB最小，再 根据“两点之间线段最短”即可解释.
解题小锦囊：将军饮马知识点
A
A
A'
BBmຫໍສະໝຸດ Pm两动点一定点
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
【变式一】：A点在两直线中间,点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小 【原理】：两点之间线段最短
解题小锦囊：三点共线知识点
模型实例
剖析一 轴对称最值之两点之间线段最短
如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且 MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为
解题小锦囊：将军饮马知识点
A
B′ D
M
NP
B
知识点总结
一般处理方法：
线段和(周长)最小： PA+PB最小，需转化 使点在线异侧