b N
图11
B
转化思想
3、边长为2的等边三角形ABC中，点D、 E是AB、AC的中点，在BE上找一点P,使 △ADP的最小周长是________。 3 +1 A
D E
P
B
D’
C
注：充分利用等边 三角形的对称轴是 中线（高线、角平 分线）所在直线这 一特性。
1、D、E是△ABC边AB、 AC上的定点，在BC上 A 求一点M，使△DEM的 周长最短. M B N
8
提示：找出A关于X轴的
6
y
4
对称点A',求出yA’B=x-1 令y=0,求出P点坐标
B
x
2
A
-5
0
A’
C
5
10
-2
注：平面直角坐标系内找对称点时，坐标轴 上点的对称点坐标比较好确定。
3、E为边长是2的正方形ABCD的边BC的 中点，在对角线AC上有一点M，BM+EM 的最小值是______。
5
D
A
P P’ A’
a
注：求线段和最短，可 以通过对称，转化成 求两点之间线段最短的 问题
二、变式训练 1、D、E是△ABC边AB、AC上的定点， 在BC上求一点M，使△DEM的周长最短.
A D E
注：求三角形周
C
B
M D’
长最短，当一边 固定时，就是求 线段和最短。
2、点A（0，1）和点B（4，3），在 x轴上有一点C,使△ABC的周长最小。请 你确定点C的坐标是______ 。 C （ 1， 0）
A
2 17 、 17
8 B、 17 17
C、
4 17 17
D、3
四、能力拓展 如图，D是∠ABC内的一点，在AB上找 一点E，在AC上找一点F，使△EFD的 周长最短.
A
E
D B
F
C
课堂小结
本节课我们学习了 两线段和的最小值 问题，
这类问题的解题方法是怎样的？
不管在什么背景下，有关两线段之和最小问题， 总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最 短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称 点”，实现“折”化“直” 数学思想：
---路径最短的问题
【学习目标】
利用轴对称、平移，旋转变换等转 化思想，结合线段公理，三角形三边 关系定理解决最短路径问题。
【学习重、难点】
通过轴对称、平移解决将军饮马 和三角形周长和动点路程问题;如何理 解通过轴对称、平移解决路径一定是 最短.
2.图中点C与直线AB上所有的连线中 哪条线最短？
分析：因为AB的长
y x 4x 5
y
A
是确定的，故 △ABP的周长最小 时AP+BP的和为 最小，所以可作出 右图所示的图
O
P B B’
x
7、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当 PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为 （C ）
求线段和最短的问题通过对称， 2、基本方法： 转化成两点之间线段最短问题。
3、基本思想： 转化的思想；构造的思想；方 程的思想。 4、需要注意： 这种方法只能解决两点之间最短距离的问题， 点到线间角坐标系中，A、B两点坐标 分别为A（-2，0）、B（8，0），以为AB直 径的⊙P与y轴交于M，以AB为一边做正方形 ABCD D C （1）求C、M两点坐标；
C
M
E
A
B
利用正方形的对称 性，构造直角三角 形，进行线段长度 的计算。
4、已知如图，MN是⊙O的直径，MN=2
点A在⊙O上，∠AMN=300,B为弧AN的中
点，P是直径MN上的一个动点，则
2 PA+PB的最小值为________。
A B
M
N O
P A’
课堂总结： 1、基本知识点： 两点之间线段最短。
-----垂线段最短”
3.相传，古希腊有一位久负盛名 的学者，名叫海伦．有一天，一 位将军专程拜访海伦，求教一个 百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条 笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使 他所走的路线全程最短？
B
A l
一、基本要求： 在直线 a外同侧有两个点A、B，在直线 a 上找一点P，使点P到A、B两个点的距离之 和最短 . B
（2）在x轴上是否存在 一点Q，使得的△QMC 周长最小？若存在， 求出点Q的坐标； 若不存在，说明理由.
M
A
O
P
B
5、如图，已知二次函数y=ax2-4x+c 的图象 与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）． 2 （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P， 使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
C
1、如下图，为了做好国 庆期间的交通安全工作， 某交警执勤小队从A处出 发，先到公路l1上设卡检 查， 再到公路l2上设卡检查， 最后再到达B地执行任务， 他们如何走才能使其总路 程最短.
.B
.A
问题二（造桥选址问题）如图13.4-6,A和B两地在一条 河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从 A到B的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直 线,桥要与河垂直.)
将实际问题中A，B两地与 笔直的河L抽象成点A.点B 和直线a,b如图8
A M b
N
图8
B
③作图过程：
将A点往直线a的垂直方向平移MN个单位后到 A′，连结A′,B,与直线b相交的一点为N点,再过N点 作NM⊥ a,与直线a的交点为M. 即MN为所求 AM+MN+NB最短的位置（如图）.
A
A′
M
a