环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题课型□预习课□同步课□复习课□习题课授课日期及时段教学内容【基础知识网络总结与新课讲解】知识点一、不等式的有关概念：1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。

注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。

提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。

正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数"可表示为"＜0"，"非负数"可表示为"≥0"。

参考答案：（1）a ＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4) ≥3 (5)8+3x ≤1 注意：列不等式时应注意两点：①"是正数"表示为＞0"，"是负数"表示为＜0"；"非正数"表示为"≥0"。

②"不大于"用"≤"表示，"不小于"用"≥"表示。

2．不等式的基本性质（1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

用式子表示：如果a>b ，那a+c>b+c （或a –c>b –c ）（2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

用式子表示：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ，c b c a >。

（3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ，cb c a <。

（4）对称性：如果a>b ，那么b<a 。

（5）同向传递性：a>b ，b>c 那么a>c 。

注意：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。

不等式的性质与等式的性质类似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。

在运用性质（2）和性质（3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向是否改变。

说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：①若a －b ＞0，则a 大于b ； ②若a －b ＜0，则a 小于b ； ③若a －b ≥0，则a 不小于b ； ④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号。

任意两个实数a 、b 的大小关系：①a-b>O ⇔a>b ； ②a-b=O ⇔a=b ； ③a-b<O ⇔a<b ． 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换;但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。

例3.对于不等式x+2＜6，字母x表示未知数，当x取某一个数值a（例如3）时，x+2的值小于6，我们就说当x=a时，不等式x+2＜6成立，当x取某一个数值b（例如5）时，x+2的值不小于6，我们就说当x=b时，不等式x+2＜6不成立，说明当x取下列数值时，不等式2x+1＜5是否成立？-1，0，3，-2.5，+4，-4，4.5提示：把下列各值分别代入不等式的左边计算2x+1的值，若小于5则不等式成立；若不小于5则不等式不成立。

参考答案：当x=-1,0,-2.5,-4时，不等式2x+1＜5成立。

说明：因为当x=1，0，-2.5,-4时，不等式2x+1＜5成立，当x=2,+4,4.5时，不等式2x+1＜5不成立，所以同方程类似，我们可以说-1，0，-2.5-4是不等式2x+1＜5的解，而2，+4，4.5不是不等式2x+1＜5的解。

例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。

（1）由2a＞5，得a＞（2）由a-7＞，得a＞7（3）由- a＞0，得a＜0 （4）由3a＞2a-1,得a＞-1。

例5.设a＞b；用"＞"或"＜"号填空：（1）（2）a-5 b-5 （3）- a - b（4）6a 6b （5）-（6）-a -b参考答案：（1）＞（2）＞（3）＜（4）＞（5）＜（6）＜例5.试比较下列两个代数式值的大小：（1）5a+2与4a+2 （2）x3+3x2-7与x3+2x2-7提示：我们知道，若a-b＞0,则a＞b；若a-b=0,则a=b；若a-b＜0,则a＜b,所以要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零。

参考答案：（1）(5a+2)-(4a+2)=5a+2-4a-2=a∵a可取正数，负数或零，∴5a+2和4a+2间的大小关系有三种可能：①当a＞0时，5a+2＞4a+2 ②当a=0时，5a+2=4a+2③当a＜0时，5a+2＜4a+2。

（2）（x3+3x2-7）-(x3+2x2-7)=x3+3x2-2x2+7=x2∵x2≥0(对任意x) ∴x3+3x2-7≥x3+2x2-7例6.已知二数a＞2,b＞2,试比较a+b与ab的大小。

提示：此题可用作商比较法来比较a+b与ab 的大小。

参考答案：a+b＜ab。

说明：∵a＞b,b＞2∴ab＞0且∵又ab＞0 ∴a+b＜ab。

课内练习：1．（1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。

① 6+2 -3+2；② 6×（-2） -3×（-2）；③ 6÷2 -3÷2；④ 6÷（-2） -3÷（-2）（2）如果a＞b，则2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：（1）若a＞b，则2a+1 2b+1;（2）若＜10，则y -8；（3）若a＜b，且c＞0，则ac+c bc+c；（4）若a＞0，b＜0， c＜0，（a-b）c 0。

3. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。

（1）a＞b两边都加上-4；（2）-3a＜b两边都除以-3；（3）a≥3b两边都乘以2；（4）a≤2b两边都加上c；4. 根据不等式的性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）：5.比较下列各题两式的大小：6．【探索与创新】 （1）用适当的符号填空①∣3∣＋∣4∣ ∣3＋4∣； ②∣3∣＋∣－4∣ 3＋（－4）∣； ③∣－3∣＋∣4∣ ∣－3＋4∣； ④∣－3∣＋∣－4∣ ∣ －3＋（－4）∣； ⑤∣0∣＋∣4∣ ∣0＋4∣；（2）观察后你能比较∣a ∣＋∣b ∣和∣a ＋b ∣的大小吗？ 课后习题：1．当x 取何值时，不等式3x ＜5x+1成立（ ）A.-B.-1C.0D.-3.5 2．下列不等式的变形中，正确的是（ ）A.若2x ＜-3，则x ＜- ,B.若- x ＜0，则x ＞0C.若-，则x ＞y 。

D.若-，则x ＜-63．若关于x 的不等式ax ＞b （a ≠0），有x ＜,那么a 一定是（ ）A.正数B.负数C.非正数D.任何数 4．若a ＞b 且a ≠0,b ≠0，则（ ） A.B.C.a ＞b ＞0时，b ＜a ＜0时， ，D.ab 同号时， ,a 、b 异号时，5．已知a ＞b ，用“＞”或“＜”号填空．（1）a －2 b －2； （2）3a 3b ；（3）41a 41b ； （4）－32a －32b ； （5）－10a －10b ; （6）ac 2 b c 2．6．若x ＞y ，则ax ＞ay ，那么a 一定为 （ ）． （A ）a ≥0 （B ）a ≤0 （C ）a ＞0 （D ）a ＜07．若m ＜n ，则下列各式中正确的是 （ ）．（A ）m －3＞n －3 （B ）3m ＞3n （C ）－3m ＞－3n （D ）13-m ＞13-n8．下列各题中，结论正确的是 （ ）．（A ）若a ＞0，b ＜0，则ab＞0 （B ）若a ＞b ，则a －b ＞0 （C ）若a ＜0，b ＜0，则ab ＜0 （D ）若a ＞b ，a ＜0，则ab＜09．下列变形不正确的是 （ ）． （A ）若a ＞b ，则b ＜a （B ）若－a ＞－b ，则b ＞a （C ）由－2x ＞a ，得x ＞a 21-（D ）由21x ＞－y ，得x ＞－2y 10．下列不等式一定能成立的是 （ ）． （A ）a ＋c ＞a －c （B ）a 2＋c ＞c （C ）a ＞－a （D ）10a＜a11、在下列空格中填上不等号，并注明理由：（1）若5+x ＞8,则x 3,根据是 。

（2）若6x ＞3，则x ,根据是 。

（3）若＞1，则x -3，根据是 。

（4）若x ＞y ，则- -,根据是 。

12、如果a ＜b ，用"＜"或"＞"填空。

（1）a-1 b-1 (2)-2a -2b (3)（4）1-a 1-b13、若-，则c 0（填"＞"或"＜"号)14、列出表示下列各数量关系的不等式： （1）m 的2倍与3的和大于7； （2）x 的 与4的差是负数；（3）a 的一半与b 的3倍的和不大于1； （4）y 的立方是非负数。

15．将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x －17＜－5； （2）x 21-＞－3；（3）x 327-＞11； （4）351+x ＞354--x ．16．a 一定大于－a 吗？为什么？17．已知将不等式mx ＞m 的两边都除以m ，得x ＜1，则m 应满足什么条件？18.设 a ＞b ，用“＞”或“＜”号填空：(1)a+3 ______ b+3； (2)5a ______ 5b ；(5)ma______ mb(m ≠0)．30分钟检测一、选择题（每题4分，共32分）1、如果m ＜n ＜0,那么下列结论中错误的是（ ） A 、m －9＜n －9 B 、－m ＞－n C 、11n m > D 、1mn > 2、若a －b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ） A 、a ＞b B 、ab ＞0 C 、0ab< D 、－a ＞－b 3、由不等式ax ＞b 可以推出x ＜ba，那么a 的取值范围是（ ） A 、a ≤0 B 、a ＜0 C 、a ≥0 D 、a ＞0 4、如果t ＞0,那么a ＋t 与a 的大小关系是（ ）A 、a ＋t ＞aB 、a ＋t ＜aC 、a ＋t ≥aD 、不能确定 5、如果34a a <--，则a 必须满足（ ） A 、a ≠0 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a 为任意数6、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）ab cA 、cb ＞abB 、ac ＞abC 、cb ＜abD 、c ＋b ＞a ＋b 7、有下列说法：（1）若a ＜b ，则－a ＞－b ； （2）若xy ＜0，则x ＜0，y ＜0；[来源:学科网]（3）若x ＜0，y ＜0，则xy ＜0； （4）若a ＜b ，则2a ＜a ＋b ； （5）若a ＜b ，则11a b >； （6）若1122x y--<，则x ＞y 。