A = Al + At B = ∇ × A = ∇ × Al + ∇ × At = ∇ × At
(2.3.3)
上述等式对导体球面上任意点成立的条件是 课外练习： 一个半径为 R 的导体球面 带电量为 Q 。在球面内部距 由此得到镜像电荷放置的位置以及所带的电量： 球心为 a 的位置有一个带电 R2 R 量为 q 的点电荷。求导体球 b= , q′ = − q a a 面上的电荷分布。 静电镜像法实际上是唯一性定理的一个巧 一块无穷大平面导体位于 妙的应用， 它通过拼凑的方法得到一个既满足泊 z = 0 处，在原点处有一个 松方程，又满足所有边条件的解。 向上凸起的半径为 R 的半 这种方法虽然巧妙，但有很大的局限性，它 球面。 ( 0, 0,l > R ) 处放一 在 要求边界的形状和边条件的形式都很简单。 个电量为 q 的点电荷，求上 §2.3 静磁场的矢势 半空间的电势分布。 恒定磁场指不随时间改变的磁场，也叫静磁场，它满足 以下两条规律：
l r− r r O +
图 2.1.2 两个等 量异号的点电荷
q ⎛ 1 1 ⎞ − ⎜ ⎟ 4πε ⎜ r − r+ r − r− ⎟ ⎝ ⎠ 如果场点离开这系统很远，以致 r >> r± ，则可以将上述表 达式在 r± = 0 附近做泰勒展开。
ϕ=
矢量函数的泰勒展开与一元函数的泰勒展开类似：
E = −∇ϕ
(
)
(
)
地移到 ( a, b, 0 ) 处，求点
⎧ q ⎪− δ ( x ) δ ( y ) δ ( z − a ) , z > 0 2 ∇ ϕ=⎨ ε ⎪ 0 , z<0 ⎩ ϕ ( z = 0) = 0 , ϕ ( r → ∞ ) = 0
图 2.2.1 无限大平面 导体前放一个点电荷
电荷在这个位置上受到 3 3 的电场力以及移动过程 中外力做的功。 为了得到感应电荷的总量， 注意到感应电荷的分布关于 z 轴 对称，选用平面极坐标系进行计算是方便的(图 2.2.2)：
ϕ=
⎞ ⎟ ⎠
ˆ n dl dl 1 2
图 2.1.3 电势 的边值关系
ε2
∂ϕ 2 ∂ϕ − ε1 1 = −σ ∂n ∂n
(2.1.9)
其中的偏导数是对界面的法向求导的。 分界面两边的电势差
ϕ2 − ϕ1 = − E ⋅ dl → 0
因此，在不同介质的分界面上，电势是连续的：
课外练习： 在原点有一个 电偶极子 p = pˆ ，在 z i
课外练习： 有两块相互垂 由边值关系可以求出导体面上的感应电荷密度： ˆ 直的无穷大平面导体， 分 ˆ σ = n ⋅ D2 − D1 = k⋅ εE −0 z =0 z =0 别位于 x = 0 处和 y = 0 ⎛ ⎞ 处。 将一个电量为 q 的点 ˆ jy ˆ ˆ jy ˆ ix + ˆ + ka ⎟ q ˆ ⎜ ix + ˆ − ka = − k ⋅⎜ 电荷从无穷远处准静态 3 3 ⎟
5
6
作为一个简单的例子， 考虑在一块无限大的平面导体前 放一个点电荷的情况。这电荷使导体的表面产生感应电荷。 导体外的电场由该点电荷与导体面上的感应电荷共同产生。 由于导体延伸到无穷远， 因此， 导体的电势必定等于零。 以电荷所在位置到导体平面的垂线方向作为 z 轴， 导体的表面作为 x − y 平面建立坐标系(图 2.2.1)，求导 体外的静电场的问题在数学上就表述成：
ϕ1 = ϕ 2
(2.1.10)
p = ql , l → 0
用库仑定律求静电场时，要求全空间的电荷分布已知， 并且在全空间没有任何边界。但这几乎是不可能的。一般情 况下，只能得知有限区域内的电荷分布，这就需要求解泊松 方程。于是，泊松方程以及边值关系就成为求解静电问题的 出发点。为了确定有限区域中的电场，必须在区域的边界上 附加一定的边条件，泊松方程才能有唯一的解。于是，静电 学的基本问题就变成了这样一个问题： 对每一种介质所在的 区域求解泊松方程，这些解在分界面上满足边值关系，在所 研究的区域的边界上满足边界条件：
f ( r + a ) = f ( r ) + ax
∂f ( r ) ∂f ( r ) ∂f ( r ) + ay + az + ∂x ∂y ∂z = f ( r ) + a ⋅∇f ( r ) + =
ˆ 1 u ⋅r + 2 + r r
这是一个常用的简单函数的泰勒展开式：
E (r ) =
∞
q
4πε r − r0
7
8Leabharlann 在导体球的表面，电势等于零：
q R + a − 2az
2 2
+
q′ R + b − 2bz
2 2
B′ = ∇ × A′ = ∇ × A + ∇ × ∇ψ = ∇ × A = B
=0
将这结果整理后得：
q 2a
1 R2 + a2 −z 2a
=−
q′ 2b
1 R2 + b2 −z 2b
两个矢势描写同一个磁场， 这被称为磁感应强度在任意规范 变换下保持不变。 在数学上，把一个无旋场称为纵场，用下标 l 标记；把 一个无散场称为横场，用下标 t 标记。任意一个矢量场总能 够分解为两种场的叠加：
⎛ ˆ ˆ ⎞ q ⎜ r − ka r + ka ⎟ − E = −∇ϕ = 4πε ⎜ r − ka 3 r + ka 3 ⎟ ˆ ˆ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ 1 ⎜ q q′ ⎟ + ϕ= ˆ ˆ 4πε ⎜ r − ka r − kb ⎟ ⎝ ⎠ ⎞ 1 ⎛ q q′ = + ⎜ 2 ⎟ 2 2 2 4πε ⎝ r + a − 2az r + b − 2bz ⎠
另一个稍微复杂点的例子是在接地导体球外放一个点 电荷。点电荷放在离球心 a > R 的位置。导体球接地意味着 镜像电荷与真实电荷联合产生的场使球面的电势等于零。 以导体球心为参考点建立球坐标系， 取电荷所在位置与 球心的连线方向为 z 轴(图 2.2.3)。只要找出一个函数，让它 在导体球外满足泊松方程和边条件， 这个函数就是所要求的 解。在导体球内，这个问题的解为：
图 2.2.2 平面极坐 标系下的积分面元
Q = ∫ σ dS = −
qa 2π
∞ 2π
∫∫
0 0
ρ d ρ dϕ
(ρ
2
+a
2 3
)
= −q
ϕ ( z < 0) = 0
它显然满足所要求的边条件。现在来求导体外的电势。在导
体外，可以设想在 ( 0, 0, − a ) 处有一个假想的点电荷 − q ，它 在导体外产生的电势应该与导体表面的感应电荷产生的电 势相同。这样，假想的镜像电荷与真实电荷一起在导体外将 产生所要求的电势：
ˆ ˆ q ⎛ 1 r ⋅ r+ 1 r ⋅ r− ⎜ + 2 + − − 2 − 4πε ⎝ r r r r ˆ ˆ q r ⋅ ( r+ − r− ) q r ⋅l = + = + 2 4πε r 4πε r 2 定义电偶极矩 p = ql ，则电势可以简单地表示成 ˆ 1 p⋅r (2.1.6) ϕ= + 2 4πε r
r
q
r ′ − r0
3 0
(x
2
+
)
3
+
⋅ dr ′
=−
ˆ 1 ˆ ˆ r ˆ ix + jy + kz = − 2 3 r r
(
)
简单地做变量替换 t = r ′ − r0 后，容易得到这积分的结果：
利用上述矢量函数的泰勒展开可以将两个等量异号的 点电荷产生的电势展开成级数：
3
4
轴上 z = l 处有另一个电 把严格地用第一项描写的静电场称为电偶极 偶极子 − p ，求这个系统 场，相应的场源称为位于原点的电偶极子。电偶极 在 r >> l 处产生的电势。 子是一种理想的电荷系统，它的尺度趋于零，正负 电荷数值相等，但具有确定的电偶极矩： (2.1.7) 显然，在上述电势表达式(2.1.6)式中，被忽略了的高阶 部分与电偶极场的场强之比的量级是 l r 。因此，对于正负 电荷有有限间隔的系统，它在远处的场才近似地 分别写出下述三 是电偶极场，从而近似地被当成电偶极子。电偶 课外练习： 种情况下电场强度的表达 极子只是一个近似的概念。 式： 在电偶极子的臂的延长 由电势的表达式立刻可以得到电场强度： 线上和中垂面上的电场强 ˆ ˆ ˆ p⋅r 1 1 3( p ⋅ r ) r − p 度， 以及当臂沿着 x 轴时空 E = −∇ϕ = − ∇ 2 = 4πε 4πε r r3 间中任意点的电场强度。 其中用到了以下求导的结果：
R q′
q
图 2.2.3 接地导体 球外放一个点电荷
利用电场强度与电势的微分关系， 由上述电势的表达式就可 以求出导体外的电场强度：
它满足所要求的边条件。在导体球外，设想有一个假想的镜 像点电荷 q′ 被放置在球内，它保证在球外泊松方程不受破 坏，并且无穷远边条件得以满足。由于对称性，镜像电荷只 能放在对称轴上。假定镜像电荷距离球心为 b < R ，它与真 实电荷一起在导体球外任意点产生的电势
⎛ q ⎜ 1 1 − ϕ= ˆ ˆ 4πε ⎜ r − ka r + ka ⎝
这电势显然满足边条件
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
ϕ ( z = 0 ) = 0, ϕ ( r → ∞ ) = 0
课外练习： 请利用这个电 势的表达式推导电场强 度的表达式。 求梯度的方 法可以参考 “矢量函数的 泰勒展开”处的内容。
ϕ (r < R) = 0