排列数与组合数的运算
陕西省秦岭中学——王 琪
教学目标
1. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合 数的计算公式，理解组合数的两个性质；
2. 掌握排列数、组合数求值与证明技巧。
基础过关
4 1.若C3 C n n , 则n的值为
（ D） D.7
A.5
B.6
C.8
nm 【提示】由Cm C n n 得n 3 4 7.
组合
排列数公式
组合数公式
组合数的性质
2.组合
从
n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素组成一组
，叫做从
n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
知识要点
排列
组合
排列数公式
组合数公式
组合数的性质
3.排列数公式
从n个不同元素中取出m （m n）个元素的所有排列的个数，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A 表示. A n n 1 n 2 n m 1 ，该公式一般适用于运算.
n2 n 2 n
分析提示 显示答案
小 结
1、排列数的生成，组合数的生成； 2、组合数两个性质公式如何理解与证明； 3、牢记公式，多练习！
高
3 【解】（1）A16 16 15 14 3360.
本题考查排列数、 组合数公式的应用，培 养学生的计算能力.
（2）A 6 720. 6 6！
4 （3）A 6 6 5 4 3 360.
10 9 8 7 6 5 4 （4）（解法一）C 120. 7！ 10 9 8 7 3 （解法二）C10 C10 120. 3! 10 ！ 10 9 8 7 （解法三）C10 120. 7！！ 3 3！
得：x 3或6
例题分析
显示答案
关键点拨
变式练习
典例剖析
【例1】 【例2】【例3】 方法总结
【变式训练3】
210 C C C C ______.
3 7 4 7 5 8 6 9
3 4 5 6 5 6 5 6 6 4 【提示】C7 C7 C8 C9 =C84 C8 C9 =C9 C9 =C10 =C10 =210
n m 1
B. C
n m
n m2
C. C
n 1 m
D. C
n 1 m 1
【提示】C +2C C C
分析提示 显示答案
+C
n2 m
n n 1 n 1 n2 =（C m +C m ）（ + Cm ++C m ) n m 1 n m2
C .
n 1 m 1
目标检测
1 2
分析提示
显示答案
典例剖析
【例1】 【例2】 【例3】
方法总结
1.在有关排列数和组合数运算、化简中要注意等价转化思想的运用.
2.如果想不到该怎么作，那么将排列数或者组合数都化作阶乘.
目标检测
1 2
3 4 5
6
n n 1 n2 1. C m +2Cm +C m 的值为
（B） .
n 1 m
CA. C
0
.
5 4 5 4 5 5 5 【提示】C5 C C C C C C C m m1 m m m m1 m1 m1 =0.
分析提示
显示答案
目标检测
1 2
5 m
3 4 5
3 m
6
6.(1)若A 2A ，则m的值为 (2)若C
n2 n
5
.
；
28, 则n
8
2.方程C C
x 28
3 x 12 28
的解为x C.6 D.28
（ C）
A.10或6
B.10
n m 【提示】①由Cm C ，得x 10. n n ，x 3x 12 28
②由x 3x 12, 得x 6.
基础过关
4 3.若A3 6C n n，则n等于
（C ） D.6
2 100
C C C C C C
3 96 2 96 2 97 2 98 2 99
3 96
C
显示答案
3 101
166650.
… C
3 100
C 18820.
3 96
典例剖析
【例1】【例2】 【例3】
方法总结
本题是排列数的逆用.
【例2】（1）若A m n 17 16 15 … 5 4， 则n 17 ，m 14 ；
6（ n n 1） ( n 2)( n 3) 【提示】由题意得n(n -1)( n - 2) , 4 3 2 1 化简得n 3 4, n 7.
A.9
B.8
C.7
4.解方程： 3 A =2A A.5 B.6
3 x
2 x 1
+6A ，得x等于 C.7 D.8
2 x
【提示】（ 1）m(m 1)(m 2)(m 3)(m 4) 2m(m 1)(m 2)， 化简得m 7m 10 0, 解得m （舍去）或 2 m 5.
2
（ n n 1 ） （2）C 28 C 28，可得 28, 2 1 n 2 n 56 0，解得n 8或n （舍去） 7 .
秦 中
高
万物皆为数！——毕达哥拉斯
所有问题都可以转化为数学问题！——笛卡尔 问题才是数学的心脏。！——（美）（P·R·Halmos)哈尔莫 斯 数学就是解题。 ——（匈-美）G·波利亚 1.依葫芦画瓢地模仿；2.利用现成的方法解决新的问题；3.提 出新的思路,创造新的方法,开辟新的研究领域。——华罗庚先 生在谈及数学研究时,提到了三种境界 数学好玩。 ——（美-中）陈省身
6.如果A 10 9 8 5，那么m
m 10
6
.
【提示】由10-m+1=5得 m=6.
知识要点
排列
组合
排列数公式
组合数公式
组合数的性质
1.排列
从 n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素，按照一定的次序排成一列 ， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
知识要点
排列
从n个不同元素中取出m （m n）个元素的所有组合的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C 表示. A C A
m n m n m m m n
n n 1 n 2 n m 1 m!

n !m ! ( m n) n m ! .
通过排列数公式的特点推 导出n和m的值.
（2）若n N，则(55 n )(56 n ) (68 n)(69 n) 用排列数符号表示为
A
15 69 n .
对排列数公式掌握透彻.
例题分析
显示答案
关键点拨
变式练习
典例剖析
【例1】 【例2】【例3】
方法总结
8 ，m 【变式训练2】若Am n 3 4 5 6 7 8，则n
分析提示 显示答案
n 3 n
目标检测
1 2
3 4 5
6
4. Am An m的值为
n n m m A. Am n 1 B. An n C. An m D. Am 1
（ C）
【提示】展成阶乘看看.
分析提示
显示答案
目标检测
1 2
3 4 5
5 m
6
5 m1
5.计算：C C
C
4 m
7 10
本题第（4）小题利用 组合数的性质解决问题， 要比纯用组合数的方式解 决问题方便得多.
例题分析
显示答案
关键点拨
变式练习
典例剖析
【例1】 【例2】 【例3】
方法总结
2 3 【变式训练1】求值： A4 C 1 3A5 4 7 3! 2 2 2 2 2 C C C C 2 3 4 100
x 3 x2
3 4 5
6
1 3 2. C C Ax3的值为 10 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
x 2 x2
（C ）
1 3 Ax 3 10
2
【提示】C
x2 x2
C
x 3 x2
=C
x2 x 3
C
5 x 3
x 3！ x 3!， 5 ！ x 2 ！ 10 x
（A ）
3x( x 1)( x 2) 2( x 1) x 6 x( x 1) 【提示】 , 得x 5. x3
基础过关
5.若C C
x 8
x 1 8
C , 则x
3 9
3或6
.
x 3 【提示】由C8x C8x1 C9 C9 , 得x 3或6.
； .
94 95 96 97 ； 3 C C C C 96 97 98 99
(1)原式 60 24 35 6 55.
2 2 2 2 3 原式 C C C C 96 97 98 99
(2)原式 C C C C
3 3 2 3 2 4
知识要点
排列
组合
排列数公式
组合数公式
组合数的性质
5.组合数的性质：
（ 1）C C
m n
n m n
;
（2）C
m n 1

C C
m n
m1 n
（m n, 且m, n N） .
典例剖析
【例1】【例2】 【例3】 方法总结