培优辅导 反证法和构造法
一、选择题:
1．若假设“整数a,b,c 中恰有一个偶数”不成立，则有（ ） A 、a,b,c 都是奇数 B 、a,b,c 都是偶数
C 、a,b,c 中至少有两个偶数
D 、a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 2．已知△ABC 的周长为18，c b a 、、三边的关系为c b a ≤≤,则( ) A 、a <6 B 、a >6 C 、a >7 D 、6≤a
3．A 、B 、C 、D 、E 、F 、六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是（ ）
A 、C 队
B 、D 队
C 、E 队
D 、F 队 4．设等式在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的
实数，则
的值是( )
A 、3
B 、
31 C 、2 D 、3
5 5．关于x 的一元二次方程2a x 2
-2x-3a-2=0的一根大于1，另一根小于1，则a 的取值范围
是 （ ）
A 、a ＞0或a ＜-4．
B 、a ＜-4．
C 、a ＞0．
D 、－4＜a ＜0．
二、填空题
6．用反证法证明：“三角形中最多有一个角是直角或钝角。
”时，第一步应反设:
________________________________________________. 7．不查表可求得=︒5.22cot _________.
8．321-+-++x x x 的最小值是______________.
9．若28,142
2=++=++x xy y y xy x ，则=+y x _________.
10．已知))((4)2a c b a c b --=-（且0≠a ,则a
c
b +=______________.
三、解答题
11．设 c b a ,, 为互不相等的非零实数，求证三个方程：022
=++c bx ax ，
022=++a cx bx ，022=++b ax cx 不可能都有两个相等的实数根。
12．求证：ABC ∆内不存在这样的点P ，使得过P 点的任意一条直线把ABC ∆的面积分成相等的两部分。
13．为使关于x 的方程b x x =+-1322
有四个不同的实根，求b 的变化范围。
14．设d c b a 、、、都是正数。
证明：存在三边长等于
ab d b a cd d c a c b 2,2,22222222+++++++的三角形，并计算这个三角形的
面积。
参考答案
一、选择题: 1．选D 。
整数a,b,c 中恰有一个偶数。
这个命题中的“恰”字意思是“刚刚只有”要否定它，要具备两层含义：①没有②有但是不只一个。
故选D 。
2．选D 。
假设a > 6，则a b c ≥≥> 6，那么c b a ++> 18。
这与△ABC 的周长为18矛盾。
故选D 。
3．选C 。
构造图形解题。
我们把队伍看作点（每三点不共线）。
已经赛过的两只球队用线段连接起来。
由图形，我们可以清晰地看到，E 只和A 之间有连线段。
故还未与B 队比赛的球队是E 队。
4．选B
由二次根式的定义，构造不等式组，得：a(x-a)≥0，x-a ≥0，从而可知a ≥0； 同理，由a(y-a)≥0，a-y ≥0知a ≤0。
∴a=0，此时已知等式化为。
从而x=-y ≠0。
到此易知原式=3
1。
5．解：选A 。
构造二次函数y=2ax 2-2x-3a-2．原方程一根大于1，一根小于1， 则二次函数y 与x 轴的交点在点(l ，0)两侧，观察图象可得
解这两个不等式组，得a ＞0或a ＜-4．
二、填空题
6．分析：本题应注意“最多有一个”包含着“只有一个”和“一个都没有”两种情况，它
的反面是“不最多有一个”，即“有两个”、“有三个”，合起来为“至少有两个”，因此假设为“三角形中至少有两个角是直角或钝角”。
7．21+。
通过构造等腰直角三角形求得。
8．最小值是4。
根据绝对值的几何意义将问题变化为：如图，在数轴上有三点A 、B 、C ，其所对应的数分别是-1、2、3，在数轴上求一点P 使PA+PB+PC 最小。
显然，当P 点在B 点时PA+PB+PC 最小，最小值是4。
9．=+y x 6或-7。
分析：已知的两个方程都是二元二次方程，很难降次或消元。
考虑把两方程相加可构造关于y x ，的对称式42)()2(22=++++y x y xy x 即
042)()2=-+++y x y x （视y x +为一整体，解此一元二次方程可得=+y x 6或-7。
10．值为2
由已知条件联想到一元二次方程的求根公式。
故构造方程0))(()(2
=--+-+a c b a x c b x ∴()[]()[]0=----a c x b a x ∴a c x b a x -=-=21, ∵△=0，故a c b a -=- ∴c b a +=2 ∴=+a
c
b 2
三、解答题
11．反证之，若题中方程都有两个相等的实数根，则有
，
但由题意上式应大于0，此矛盾证得本题。
-1
1
2
3
12．证明：假设在ABC ∆内存在一点P ，使得过P 点的任一条直线把ABC ∆的面积分成相等的两部分（如图）。
连接CP BP AP 、、并分别延长交对边F E D 、、。
由假设，
ADC ABD S S ∆∆=，于是D 为BC 的中点，同理F
E 、分别是AB AC 、的中点，从而P 是ABC ∆的重心。
过P 作BC 的平行线分别交AC AB 、于N M 、，则
9
4
=
∆∆A B C
A M N S S ，这与假设过P 点的任一条直线把ABC ∆的面积分成相等的两部分矛盾。
13．构造函数解题。
关于x 的方程b x x =+-1322
有四个不同的实根，即函数
1322+-=x x y 与函数b y =的图象有四个不同的交点。
分别作出这两个函数的图
象。
其中函数1322
+-=x x y 的图象是函数1322+-=x x y 的图象在x 轴下方的部分关于x 轴作对称变换到x 轴上方，在x 轴上方的部分不变而得到的。
函数b y =的图象是一条平行于x 轴的直线。
从图象中可以看出当0<b<2时，直线b y =与函数1322
+-=x x y 的图象有四个不同的交点也即原方程有四个不同的实数根。
14．注意到ab d b a cd d c a c b 2,2,2
2222222+++++++的特点，
构造以d c b a ++、为边的矩形ABCD （如图）。
于是,22c b EF +=
,2)(22222cd d c a d c a CE +++=++=
CF ＝,2)(22222ab d b a b a d +++=
++
所以CEF ∆就是满足题设要求的三角形。
由图得CEF ∆的面积：
)(CBE FAE CD F AABCD CEF S S S S S ∆∆∆∆++-=钜形
111
()()[()()]
222
1
()2
a b c d d a b bc a c d ac bc bd =++-++++=++。