平面向量：1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2B ．－13C ．－1D ．－23[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－1B ．－ 3C ．－3D ．1[答案] C[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3.(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( )A ．－611B ．－116C.611D. 116[答案] C[解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b与a－λb垂直，∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611.3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为( )A．150° B．120°C．60° D．30°[答案] B[解析] 如图，在▱ABCD中，∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( )A.12B.13 C.14 D.15[答案] A[解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34，∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12.4. 若AB→·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC→， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( )A ．－a ＋3bB ．a －3bC ．3a －bD ．－3a ＋b[答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1μ＝－3，∴c ＝a －3b ，故选B.(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b [答案] B[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |，∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝23|CD |，∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →) ＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .6. 若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB→·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1935＝－19. 7. 若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6[答案] D[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x＋3y≥232x ＋y＝6，等号在x ＝12，y ＝1时成立．8. 若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA→＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( )A ．－1B ．0 C.－1＋52D.1＋52[答案] A[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC→＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 9. (文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC→)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP→＝(x ，－3)， ∴AP→·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD→|的最小值是( ) A.12 B.32 C. 2 D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB→|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB→|·|AC →|＝2， ∴|AB→|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4， ∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22. 10.如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，若PM→·PN →＝0，则ω的值为( )A.π8 B.π4 C ．4 D ．8[答案] B[解析] ∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，又P 为函数图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点，∴PM ＝PN ，y P ＝2，∴MN ＝4，∴T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.11.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC→，则λ的值为( )A.15B.14 C.13 D.12[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.12.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( ) A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12[答案] C[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0， ∴m ＝－2，故选C. 13.在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6[答案] B[解析] CM →·CB → ＝(CA→＋AM →)·CB → ＝(CA →＋13AB →)·CB→ ＝CA →·CB →＋13AB →·CB → ＝13|AB →|·|CB →|·cos45° ＝13×32×3×22＝3.14. 在正三角形ABC 中，D 是BC上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB→·AD →＝________. [答案] 152 [解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB→，AC →〉＝60°，〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23CB →， ∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.15. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．[答案] －255[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25＝－255. 16. 已知向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.[答案] 1[解析] ∵〈a ，b 〉＝2π3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π3＝－2，∵(2a ＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.17. 已知：|OA →|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB →＝0，点C 在∠AOB ，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则m n＝________. [答案] 3[解析] 设mOA→＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ，|OC→|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，两式相除得：m3n ＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，∴m n ＝3. 18. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA→＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________． [答案] 5[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA→·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA→·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55，∴sin 〈OA →，OB →〉＝255， ∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA →，OB →〉＝12×5×5×255＝5.19.已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )．(1)若a ⊥b ，求x 的值．(2)若a ∥b ，求|a －b |.[解析] (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0， 整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，则x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2，当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝－22＋02＝2，当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)| ＝22＋－42＝2 5.。