三角函数的求值
一、教学目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 二、教学重点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用． 三、教学过程：
（一）主要知识：
三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形 三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 （2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解 （3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之
三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形
重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论 （二）主要方法：
1．寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；
2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．
（三）例题分析：
例1、计算)310(tan 40sin 0
0-的值。
【分析】将切函数化成弦函数，3转化成特殊角的三角函数，再利用两角和与差的三角函数即可求解。
解：原式=)60cos 60sin 10cos 10sin (40sin 00000
- =0
000
60
cos 10cos 50sin 40sin -⋅ =160cos 10cos 280sin 0
00
-=⋅-
[点评] “给角求值” 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系
注意特殊值象1、3等，有时需将其转化成某个角的三角函数，这种技巧在化简求值中经常用到。
练习:（全国高考）tan20°+4sin20°
解：tan20°+4sin20°=00020cos 40sin 220sin +=000020cos 40sin 10cos 30sin 2+=0
020cos 40sin 80sin +
=320
cos 20cos 60sin 20
0= 例2、(上海高考)已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2
θ的值 解：法一：由已知
2
1
tan ,3tan 1tan 1=⇒=-+θθθ
sin2θ-2cos 2
θ=θθθθ222cos sin 2cos -sin2+=5
4
tan 12tan 22
-=+-θθ 法二：sin2θ-2cos 2
θ=sin2θ-cos2θ-1=-cos(
θπ22
+)-sin(
θπ22
+)-1
=5
41)
4
(tan 1)
4tan(2)4(tan 1)
4(
tan 1222-=-+++-+++--θπθπ
θπθπ
[点评] “给值求值” 法一,由tan θ的值，利用齐次式求值。
法二，由角度之间关系求解 练习:)6
sin(,212
tan
π
αα
+=
求已知 解：（利用万能公式）
10
3
34+ 例3、已知sin(
-4πx)=135，0<x<4
π
，求)
4
cos(2cos x x
+π
的值。
【解法1】∵2)4()4(πππ=++-x x ，∴cos(4π+x)=sin(4π
-x)
又cos2x=sin(2π-2x)=sin2(4π-x)=2sin(4π-x)cos(4
π
-x)
∴)4
cos(2cos x x +π=2 cos(4π-x)=213
24)1312(=⨯ 【解法2】)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 2
2
x x x x x x x -+=-= )4
cos()4sin(2π
π
++
x x ∴
)4
cos(2cos x x +π
)
4
cos()
4cos()4sin(2x x x +++=
ππ
π=)4sin(2x +π 下同解法1。
[点评]：分析:角之间的关系：2)4()4(πππ
=++-x x 及)4
(222x x -=-π
π ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。
练习：设cos(α2
β-
)=91-
，sin(βα-2)=3
2
,且2
0,2
πβπαπ<<<<，求cos(α+β)
解：cos(
2
β
α+)=cos[(α2
β
-
)-(
βα
-2
)]┉=
27
57 ∴cos(α+β)=
1
2
cos
22
-+β
α=┉=729
239
-
〈对角的范围要讨论〉 例4、若),0(,πβα∈，31
tan ,50
7
cos -=-
=βα，求α+2β。
解：∵),0(,πβα∈，50
7cos -
=α
∴),0,33(71tan -∈-=α),0,3
3
(31tan -∈-=β ∴),65(
,ππβα∈，α+2β)3,2
5(ππ
∈, 又tan2β=
43tan 1tan 22
-=-β
β,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβ
αβα, ∴α+2β=
4
11π
[点评] “给值求角”：求角的大小，常分两步完成：第一步，先求出此角的某一三角函数值；第二步，再根据此角的范围求出此角。
在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否则易产生增解。
练习:已知α，β为锐角，tan α=1/7 sin β=
10
10
,求2α+β的值 解：由已知0<2α+β<
23π, 求得cos(2α+β)=22或tan(2α+β)=1.得2α+β=4
π
例5、已知3
1
)sin(,21)sin(=-=
+βαβα，求tan α:tan β的值。
解：由已知，sin αcos β+cos αsin β=1/2......(1), sin αcos β-cos αsin β=1/3 (2)
()()()()
得2121-+tan α:tan β=5:1
[点评] “给式求值”:注意到公式中的特点用解方程组的方法得到。
练习: 已知sin α+sin β= m 已知cos α+cos β= n(mn ≠0). 求⑴cos(α-β);⑵sin(α+β);⑶tan(α+β)
解：⑴两式平方相加得：2+2(cos αcos β+sin αsin β)=m 2+n 2
12
)cos(2
2-+=
-⇒n m βα. ⑵
=
++β
αβ
αcos cos sin sin n m =+=-+-+2tan 2
cos
2cos 22cos
2sin
2βαβαβαβ
αβ
α. 由万能公式：sin(α+β)=222212
m n mn n m n m
+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+ ⑶tan(α+β)=222212
m n mn n m n m
-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
（四）巩固练习：
1．若cos130a =，则tan 50=
（
）
()
A a
()B a
±
()C
()D a
-
2．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++=
（ B ）
()A 2
()B 4
()C 8
()D 16
四、小结：
三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形
三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 （2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解 （3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之
三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次
注意点：灵活角的变形和公式的变形，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论
五、作业：。