1.2.2基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则
公式一:
C

= 0 (C为常数)
公式二: ( x
) x
1
( 是常数)
算一算：求下列函数的导数 (1)
4 y=x
;
(2)
-5 y=x
;
4x3
(3) y x ;
-6 -5x
1 1 -3 2 -2x x 2 注意公式中,n的任意性.
3 2
例2:求下列函数的导数:
答案: (1) y 3x2 2;
1 4 3; 2 x x 1 x2 (3) y ; 2 2 (1 x ) (2) y
(5) y (2 x 3) 1 x ; 1 (6) y 4 ; x (7) y x x ;
2
1 (4) y ; 2 cos x 6 x3 x (5) y ; 1 x2
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
t p (t ) 1.05 ln1.05
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
• • • • •
三、解答题 6．求下列函数的导数 (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x·tanx； (3)y＝(下列各式正确的是（ D ）
1 A.(log )' x ln 10 x B .(loga )' x x C .(3 )' 3 x
x a
D .(3 )' 3 ln 3
x x
0 (3) f(x)=80，则f '(x)=______;
x '
(4) f ( x) e , 则f ( x)等于e ______ f (1)等于 ______ 1
(6) y (7) y 4 ; 5 x
3 x; 2
(1)求下列函数的导数． ①y＝x2sinx ②y＝x2(x2－1)
1 2 3 (2)求 y＝x＋x2＋x3的导数．
[解析] (1)①y′＝(x sinx)′＝(x )′sinx＋x (sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x (x －1)]′＝(x )′(x －1)＋x (x －1)′ ＝2x(x －1)＋x · 2x＝4x －2x.
x－1 (4)y＝ . x＋1
[解析]
(1)y′ ＝ (x4 － 3x2 － 5x ＋ 6)′ ＝ (x4)′ －
(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5；
xsinx (2)y′＝(x· tanx)′＝ cosx ′
(xsinx)′cosx－xsinx(cosx)′ ＝ cos2x (sinx＋xcosx)cosx＋xsin2x sinxcosx＋x ＝ ＝ cos2x ； cos2x
c '(98) 1321(元/吨)
1.2.3复合函数求导
基本初等函数的导数公式
5284 5284' (100 x ) 5284 (100 x )' 解：c '( x ) ( )' 100 x (100 x )2
0 5284 (1) 5284 2 2 c '(90) 52.84(元/吨) (100 x ) (100 x )
4 3 5 3 5 3
[解析]
1 5 4 3 (1)y′＝5x －3x ＋3x＋
2 ′
1 4 5 ＝5x ′－3x3′＋(3x)′＋(
2)′＝x4－4x2＋3.
(2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 － 4x3)(4x5 ＋3x3)′＝(15x4 －12x2)(4x5 ＋3x3)＋ (3x5 －4x3)(20x4 ＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5 ＝120x9－56x7－72x5. 解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6 ∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(5)
x ln a (1og a x) ________
'
x
'
e
例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀 率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单 t p t p 1 5% ，其 位：年）有函数关系 0 中 p0 为t=0时的物价.假定某商品的 p0 1 那么在第10个年头，这种商品的价格上涨 的速度的大约是多少（精确到0.01）？
又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.
a＋b＋c＝1， a＝3， 由4a＋b＝1， 解得b＝－11， 4a＋2b＋c＝－1， c＝9. 所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
[点评] 本题主要考查了导数的几何意义， 导数的运算法则及运算能力．
例2. 日常生活中的饮用水通常是通过净化的。随着水纯 净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度为 x% 时所需费用(单位:元)为： 5284 c( x ) (80 x 100) 100 x 求净化到下列纯净度时 , 所需净化费用的瞬时 变化率： (1)90% (2)98%
1
C 0(C为常数)
x
[例 1] 求下列函数的导数： 1 x 5 3 x (1)y＝x ；(2)y＝x4；(3)y＝ x ；(4)y＝2 ；(5)y＝2sin2
12
x cos . 2
[分析]
对于简单函数的求导， 关键是合理转化函数的
1 关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式， 如 y＝x4可 以写成 y＝x ，y＝ x ＝x5等，这样就可以直接使用幂函 数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
－4
5
3
3
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11.
1 4 －4 －5 (2)y′＝x4′＝(x )′＝－4x ＝－x5.
(4)y′＝(2 )′＝2 ln2.
x x (5)y′＝2sin2cos2′＝(sinx)′＝cosx.
x
x
• [点评] 运算的准确是数学能力高低的重要 标志，要从思想上提高认识，养成思维严 谨、步骤完整的解题习惯，要形成不仅会 求，而且要求对、求好的解题标准．
[例3] 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点 (2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值． [ 分析 ] [解析] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)， 件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值．
所以a＋b＋c＝1. y′＝2ax＋b，曲线过点P(2，－1)的切线的斜率为 4a＋b＝1.
(4)解法
x－1 1：y′＝ x＋1′
(x－1)′(x＋1)－(x－1)(x＋1)′ ＝ (x＋1)2 x＋1－(x－1) 2 ＝ ＝ ； (x＋1)2 (x＋1)2 x－1 x＋1－2 2 解法 2：∵y＝ ＝ ＝1－ ， x＋1 x＋1 x＋1
2 2 2 ∴y′＝1－x＋1′＝－x＋1′＝ 2. ( x ＋ 1)
• 求下列函数的导数： • (1)y＝x－2；(2)y＝cosx；(3)y＝log3x；(4)y＝e0. • [解析] 由求导公式得 2 －3 (1)y′＝－2· x ＝－x3.
(2)y′＝(cosx)′＝－sinx. 1 (3)y′＝(log3x)′＝ xlog3e. (4)∵y＝e0＝1，∴y′＝0.
x x
(2) (e ) e .
x x
公式1
公式2 公式3 公式4 公式5 公式6 公式7
公式8 (1nx )
x x (为常数) ' (sin x) cos x. 记 ' (cos x ) sin x. x ' x 一 (a ) a ln a x ' x (e ) e 1 记 ' (1og a x) x ln a 1 '
数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第 二个函数的导数 ,即:
' '
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g (x)
'
应用2:求下列函数的导数
2+3)(3x-2) 2 2 (1)y=(2x y ' (2 x 3)(3x 2)'(2 x 3)' (3x 2)
1 2 1 3 －2 －3 (2)y′＝x＋x2＋x3′＝x＋2x ＋3x ′
2 2 3 2 2 2 2 2 2
2
2
2
1 1 4 9 －3 －4 ＝－x2－4x －9x ＝－x2－x3－x4.
练一练： （1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos (为常数） B （ . cos x )' sin x C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
一、导数的运算法则
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两
个函数的导数的和(差),即:
[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x); 应用1: 求下列函数的导数 (1)y=x3+sinx 2
y' 3x cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x 2
2
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函
4 3 (3)y′＝(3 x ＋4 x )′＝(3x )′＋(4x )′ 3 2 3
4 3
• [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展 开再求导更简便． • 2 ．含根号的函数求导一般先化为分数指 数幂，再求导．