华南农业大学珠江学院期末考试试卷A及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2华南农业大学珠江学院期末考试试卷2009--2010学年度 下 学期 考试科目：高等数学(信工本科)考试年级：__2009__级 考试类型：（闭卷）A 卷 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 总分 得分得分评卷人一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 直线11121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是 ( ) p39例五(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π4-． 2. 设D ：1≤22y x +≤4；则=+⎰⎰y x y x Dd d 22 ( )p141 (A)2π4201d d r r θ⎰⎰； (B)2π401d d r r θ⎰⎰；(C)2π2201d d r r θ⎰⎰； (D)2π21d d r r θ⎰⎰.3． 若(,)z f x y =的偏导数z x ∂∂及zy∂∂在点）（00,y x 都存在，则 ( )(A) (,)z f x y =在点）（00,y x 可微； (B) (,)z f x y =在点）（00,y x 连续； (C) (,)z f x y =在点）（00,y x 不一定可微； (D) 以上结论都不对.4. 正项级数∑∞=1n na若满足下面哪个条件必收敛， ( )(A)0lim =∞→n n a ； (B)1lim1<+∞→n n n a a ； (C)1lim 1n n naa +→∞≤； (D)1lim 1>=+∞→λn n n a a ．试卷第1页（共 6 页）5．关于幂函数∑∞=1n nnx ，下列结论正确的是 ( )(A)当且仅当1<x 时收敛； (B)当1≤x 时收敛； (C)当11<≤-x 时收敛； (D)当11≤<-x 时收敛．6．微分方程 22xy y xe '''-=的特解*y 的形式为(其中,a b 为待定系数) ( ) (A)2x axe (B) 2()x ax b e + (C) 22x ax e (D) 2()xx ax b e + 7．已知Ω由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围成，则⎰⎰⎰Ω=xdxdydz ( )(A) 11 1 00 0x ydx dy xdz --⎰⎰⎰； (B)12112 0 0x x y dx dy xdz ---⎰⎰⎰；(C)1211dx dy xdz ⎰⎰⎰； (D)12112 0x ydx dy xdz --⎰⎰⎰.8.2 10(1)1!2!!nx x x dx n +++++⎰L L = ( ) (A)1； (B)e ； (C)2e ； (D)1-e . 得分评卷人二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 1．设2||=→a ，1||=→b ，且3),(π=∠→→b a ，则=-⋅+→→→→）（）（b a b a 332 .2．曲线2221z x y z ⎧=+⎨=⎩在xOy 平面上的投影曲线方程为 .3．若()xyey x f z ，22-=，其中f 具有一阶连续偏导，则xz ∂∂= ；yz∂∂= .4．积分区域D 由曲线x y =及抛物线x y 42=所围成，化二重积分⎰⎰=Dy x f I σd ),(为试卷第2页（共 6 页）二次积分（两种积分次序）为I = ；I = . 5.级数∑∞=+-123)1(n nnn是 _____ .（填绝对收敛、条件收敛或发散） 6.设∑为柱面122=+y x 及平面0=z 和1=z 所围成的区域表面的外侧，则=++⎰⎰∑ydxdz xdydz zdxdy _____ .7.微分方程20y y y '''+-=的通解为=y .得分 评卷人三、计算题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1. 求幂级数∑∞=+12)3(n nn x 的收敛区间.2.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧===32,,t z t y t x 在1-=t 的对应点处的切线方程和法平面方程.试卷第3页（共 6 页）3.求函数22324y xy x x z -+-=的极值.4. 利用格林公式计算⎰-Lx y x y xy d d 22，其中L 是圆周222a y x =+（按逆时针方向）.试卷第4页（共 6 页）5. 计算二重积分(2)d d Dx y x y -⎰⎰，其中D 是由直线01,1=--=x y y 及03=-+y x 所围成.（区域D 如右图阴影部分）6.求微分方程d tan 5d -=yxy x的通解；试卷第5页（共 6 页）得分 评卷人四、综合题（6分） 设曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径L 无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，求)(x f 的表达式.试卷第6页（共 6 页）华南农业大学珠江学院期末考试试卷答案2009--2010学年度 下 学期 考试科目：高等数学(信工本科)考试年级：__2009__级 考试类型：（闭卷）A 卷 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 总分 得分一、单项选择题（本大题共8小题，每小3分，共24分） 1．B 2．C 3．C 4. D 5．C 6．D 7．B 8. D 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）1． 28； 2．⎩⎨⎧==+.z y x 01222.3．'+'212f ye xf xy ； '+'-212f xe yf xy . 4．⎰⎰42),(dy y x f dx xx；⎰⎰4042),(dy y x f dy yy .5. 条件收敛 .6.3π.7.xxec e c 221-+.三、计算题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1. 求幂级数∑∞=+12)3(n nn x 的收敛区间. 解：2413)3()1()3(lim221-<<-⇒<+=+++=+∞→x x nx n x nn n ρ，……4分 当4-=x 和2-=x 时级数收敛，……6分所以收敛区间为[]2,4--.……7分2.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧===32,,t z t y t x 在1-=t 的对应点处的切线方程和法平面方程.解 在1-=t 处的对应点为)1,1,1(--，……1分并且11=-=t dt dx，21-=-=t dt dy ，31=-=t dt dz……4分所以切线的方向向量为)3,2,1(-……5分 故切线方程为 31211+=--=+z y x ；……6分 法平面方程为 0632=++-z y x ……7分 3.求函数22324y xy x x z -+-=的极值.解 第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点23820,220,z x x y x z x y y∂⎧=-+=⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩……1分 解出{110,0,x y == {222,2.x y == ……3分 第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下：22xz A ∂∂=y x zB ∂∂∂=2 yz C 22∂∂=结论86-=x2=2-=AC B -2)0,0( 08<- 02> 02<- 012<- 是极值点，且 为极大值点 )2,2( 04>02>02<-012>不是极大值点因此，函数的极大值为0)0,0(=z ．……7分4. 利用格林公式计算⎰-Lx y x y xy d d 22，其中L 是圆周222a y x =+（按逆时针方向）.解：L 所围区域D ：222a y x ≤+ 由格林公式，可得⎰-L x y x y xy d d 22=y x y y x x xy Dd d ))()((22⎰⎰∂-∂-∂∂……2分=⎰⎰+Dy x y xd d )(22……4分=4π20022πd a r r r d a⎰⎰=⋅θ.……7分5. 计算二重积分(2)d d Dx y x y -⎰⎰，D ：由直线01,1=--=x y y 及03=-+y x 所围成.解 画出区域Ｄ的图形，选择先对x 积分，这时区域D 的表达式为{13,12,y x y y -≤≤-≤≤……2分 于是y x y x d d )2(D⎰⎰-＝2311d (2)d y y y x y x ---⎰⎰…3分＝22311()d y y x xy y ---⎰……4分＝221(288)d y y y -+⎰……5分＝2123)8432(y y y +-＝32，……6分 所以(2)d d Dx y x y -⎰⎰＝32．……7分 6.求微分方程d tan 5d -=yxy x的通解； 解：原方程可化为 d cos 5cos d sin sin -=y x xy x x x，……2分故通解为cos cos d d sin sin 5cos e e d sin ⎛⎫-⎪⎝⎭⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰x x x x x x x y x C x ……6分25cos sin d sin 5sin ⎡⎤=+=-⎢⎥⎣⎦⎰x x x C C x x ……7分四、综合题（6分）解：设曲线积分[]ydy x f ydx e x f Lxcos )(sin )(--⎰与路径L 无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，0)0(=f ，求)(x f 的表达式。

解：由条件()y x f y e x f xcos )(cos )('-=-xe xf x f =+⇒)()('……2分x xce e x f -+=⇒21)(，……4分由210)0(-=⇒=c f 2)(xx e e x f --=⇒.……6分。