华南农业大学珠江学院期末考试试卷2008学年度下学期 考试科目：高等数学考试年级：信工系08本科_ 考试类型：（闭卷）A 卷 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.微分方程2323230d y d y dx xdx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的阶数为 .2.已知{}1,2,2a =，{}b ,,=λ-21，且⊥，则=λ .3.已知函数2x yz e=, 则 1 2x y dz=== _ .4.已知ln 1(,)exdx f x y dy ⎰⎰, 则改变积分次序后，二次积分变为 _ .5.已知三重积分(,,),I f x y z dv Ω=Ω⎰⎰⎰: 由旋转抛物面22z xy =+ 与平面1z =围成，将其化成三次积分为 _ _ .6.曲面222236x y z ++=在点（1，1，1）处的法线方程为 ________________________7.如果级数1nn u∞=∑收敛，那么必定满足的条件是lim n n u →∞= _ .8.已知 L 为连接（1, 0）及( 0 ,1 )两点的直线段，则积分 ()Lx y ds +⎰= _ .二、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

9.二元函数(,)z f x y =在00,)x y 点（处可微是偏导数 00 00,),,)x y f x y f x y （（存在的（ ）. A. 必要条件 ; B. 充要条件 ; C. 充分条件 ; D. 既非充分又非必要条件.10.方程22212y x z -+=所表示的曲面是（ ）. A. 双曲抛物面 ; B.椭圆锥面 ; C. 双叶旋转双曲面 ; D. 单叶旋转双曲面 . 11.点（0，0）是函数z xy =的（ ）.A. 极值点;B. 驻点 ;C. 最大值点 ;D. 不连续点 . 12.设D 由圆22(1)1x y -+= 所围成,则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（ ）A. 2cos 0(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰; B.2cos 2 02(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰;C.2cos 22(cos ,sin )d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰; D.22 0(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰ .13.已知L 为从点（1，1）到点（4，2）的直线段，则()()Lx y dx y x dy ++-⎰值为（ ）.A. 10 ;B. 11 ;C. 8 ;D. 9 . 14.下列级数中绝对收敛的是（ ）.A. 1(1)nn n ∞=-∑ ; B.1!3n n n ∞=∑ ; C. 121(1)n n n -∞=-∑ ;D. 1(1)nn ∞=-∑ . 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）15.求微分方程440y y y '''-+=满足初始条件01,4x x y y =='==的特解.试卷第3页（共5页）16.过点（2，0，-3）且与直线 247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程.17.设22(,)y z f x y x =-，f 具有一阶连续编导数,求z z x y∂∂∂∂及.18.函数(,)z z x y = 由方程zx y z e +-=所确定，求2z zx x y∂∂∂∂∂及.19.求22Dx d yσ⎰⎰，其中D 是由直线2,x y x ==与双曲线1xy =所围成的闭区域.20.计算222(2sin )cos L y xy x dx x dy -+⎰ ，其中L 为椭圆22221x y a b+=的右半部分，取逆时针方向.21.求1(1)321n n nn x n ∞=--∑ 的收敛半径及收敛域.试卷第5页（共5页）四、应用题（本大题共1题，共12分）22.在曲面22()1x y z --=上求出点的坐标，使其到原点的距离最短，并求出此最短距离.五、证明题（本大题共1题，共5分）23.设(()),u x y ϕψ=+其中,ϕψ具有二阶导数，证明：222u u u u x x y y x ∂∂∂∂⋅=⋅∂∂∂∂∂ .A 卷答案及评分标准一、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 3； 2. 0； 3. 2(4)e dx dy +； 4.1ee (,)ydy f x y dx ⎰⎰；5.2211-1(,,)x y dx f x y z dz +⎰⎰⎰； 6.111123x y z ---==； 7. 0； 8..二、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9. C; 10.D; 11. B; 12. C; 13. B; 14. C.三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 15.解：所给微分方程的特征方程为 2440r r -+=解得两相等实根122r r == …………2分故所给微分方程的通解为：212()xy C C x e =+将初始条件01,x y==代入通解，得11C =，将11C =再代回通解，得22(1)xy C x e =+ …………5分 对上式求导，得2222(1)2x x y C e C x e '=++再将初始条件04x y ='=代入上式，得22C =，将其代回通解中，得特解：2(12)xy x e =+ …………7分 16. 解：根据题意，所求平面的法向量n 可取直线的方向向量s ，即 n = s =124352i j k-- …………3分{}16,14,11=- …………5分由已知点（2，0，-3）（平面点法式方程），所求平面方程为：16(2)14(0)11(3)0x y z --+-++=即161411650x y z ---= …………7分17.解：令22,yu x y v x=-=…………1分试卷第7页（共5页）2z z z z z 2z z z 1z 2u v x u x v xy x u x vz u v y u y v yy u x v∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂=-∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂ …………4分…………7分 18.解：(可用公式法, 也可以直接方程两边同时对自变量求偏导方法) 方程两边同时对x 求偏导,z z 1z 11z ze x xx e ∂∂-=∂∂∂=∂+ …………2分…………3分方程两边同时对y 求偏导,z z 1z 11z ze y yy e ∂∂-=∂∂∂=∂+所以 …………5分23z z 1()()1(1)zzz z x y y x y eee ∂∂∂∂==∂∂∂∂∂+=-+…………7分19. 解：由题意可知： D=1(,)12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭…………2分所以：222 x 122 1 221 1 23 122411()()19()244x Dx xx x d dx dyy y x dxyx x dxx x σ==-=-+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ …………5分…………7分20. 解：设1L 是从点（0,)b -到点(0,b)的有向直线段，由1L 与L 所围成的闭区域为D ， 则由L 与1L -组成的有向闭曲线是D 的正向边界曲线。

令P=2222sin ,cos y xy x Q x -=，则它们在D 上具有连续偏导数，且2Q P y x y∂∂-=-∂∂ 由格林公式，有 …………2分1222 L+L b-b 0b-b (2sin )cos 2220Dy xy x dx x dyydxdyydy dxa --+=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ …………4分…………5分根据积分性质，有112222222(2sin )cos (2sin )cos cos 2LL L bby xy x dx x dyy xy x dx x dy x dydy b--+=-+===⎰⎰⎰⎰…………7分试卷第9页（共5页）21. 解：收敛半径R=113121limlim 3321nn n n n n a n a n +→∞→∞+-==+ …………3分 所以13x <，1133x -<< 当13x =-时，原级数为1121n n ∞=-∑，发散 …………5分当13x =时，原级数为1(1)21nn n ∞=--∑，收敛所以，收敛域为11(,]33- …………7分四、应用题（本大题共1题，共12分）22. 解：设曲面上任一点为（,,x y z ），则该点到原点的距离设为d ，有2222d x y z =++且满足条件22()1x y z --= …………3分作拉格朗日函数：22222(,,)[()1]F x y z x y z x y z λ=+++---，λ为待定系数 …………5分则 2222()022()0220()1x y z F x x y F y x y F z z x y z λλλ=+-=⎧⎪=--=⎪⎨=-=⎪⎪--=⎩…………7分由第一和第二个方程得x y =-，由第三个方程得2(1)0z λ-=显然0λ≠，因为1λ=代入第一个方程得42x y =只有0x y ==，代入条件得21z -=不在曲面上，故只有0z =且将x y =-代入条件解得：11,22x y ==-或11,22x y =-= …………10分所求点的坐标为1111 (,,0)(,,0) 2222--和得最短距离d==…………12分五、证明题（本大题共1题，共5分）23. 证明：令()t x yψ=+，则…………1分222(),()()()()()()()u ut t yx yut t yx y yut tx xϕϕψϕϕψϕϕ∂∂'''==∂∂∂∂''''==∂∂∂∂∂'''==∂∂…………3分所以2()()()u ut t yx x yϕϕψ∂∂''''=∂∂∂22()()()u ut y ty xϕψϕ∂∂''''⋅=∂∂即222u u u ux x y y x∂∂∂∂⋅=⋅∂∂∂∂∂证毕…………5分。