华南农业大学珠江学院期末高数考试B卷及答案华南农业大学珠江学院期末考试试卷2008学年度下学期 考试科目：高等数学考试年级：信工系08本科 考试类型：（闭卷）Ｂ卷 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.微分方程4()y y xy x''''++=的阶数为 . 2.已知{}1,2,1a =-，{},4,2b λ=，且a∥b，则λ=.3.函数 2ln()z x y =-的定义域是.4.曲面222236xy z ++= 在点（1，1，1）处的法线方程为 .5.已知222 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰ 则改变积分次序后，二次积分变为 .试卷第3页（共5页）6. 已知三重积分(,,),I f x y z dv Ω=Ω⎰⎰⎰: 由圆柱面y = 与平面z=0,z=2及y=0 围成，将其化成在柱面坐标系下的三次积分为 . 7.已知L 为抛物线24y x =上从点（0，0）与点（1，2）间的一段弧，则 Lyds =⎰ .8.若级数12(1nn n un ∞=++∑） 收敛，则lim n n u →∞=.二、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

9. 0,),)xyf x y f x y （与（存在是函数(,)f x y 在点00,)x y （处连续的（ ）.A. 必要条件;B. 充分条件;C. 充要条件;试卷第4页（共5页）D. 既非充分又非必要条件. 10. 方程22213y x z -+=所表示的曲面是（ ）.A. 双曲抛物面 ;B.椭圆锥面 ;C. 双叶旋转双曲面 ;D. 单叶旋转双曲面 . 11.函数32z 62xxy y =--+ 的驻点的个数是（ ）.A.1 ;B.2 ;C.3 ;D. 4. 12.设 D 由222xy a +=围成,且Dπ= 则a =（ ）.A.;B.C.; D. 1.13.平面240x y z -+-= 与直线121311x y z -++==-的位置关系是（ ）.A.垂直 ;B.平行但直线不在平面上 ;C. 不平行也不垂直 ;D. 直线在平面上 . 14.下列级数中绝对收敛的是（ ）. A.1(1)nn n ∞=-∑ ; B.1!3n n n ∞=∑ ; C.121(1)n n n -∞=-∑ ;试卷第5页（共5页）D. 1(1)nn ∞=-∑ .三、计算题（本大题共7小题，49分）15. 求微分方程22xy y y e '''+-=的通解.16. 求过两点M (8,-3,1)和 N （4，7，2），且垂直于平面35721x y z +-=的平面方程.试卷第6页（共5页）17. 设22(,)z f xy xy =-，f 具有一阶连续偏导数，求z z x y∂∂∂∂及.试卷第7页（共5页）18. 函数(,)z z x y = 由方程zx y z e +-=所确定，求2z z x x y∂∂∂∂∂及 .19. 求22Dx d yσ⎰⎰，其中D 是由直线2,x y x ==与双曲线1xy =所围成的闭区域.试卷第8页（共5页）20. 计算I=33(cos )(sin )Ly y x dx x x dy --+⎰，其中L 为沿221(0)x y x +=≥由点(0,1)A -到点(0,1)B 的弧段.21. 求1(2) 2nnnx n∞=-∑的收敛半径及收敛域.四、应用题（本大题共1题，共12分）22.设内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.试卷第9页（共5页）试卷第10页（共5页）五、证明题（本大题共1题，共5分）23.设2()y z xf x= ，其中f 为可微函数，证明：2z zxy z x y∂∂+=∂∂B 卷答案及评分标准一、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1. 3；2. -2；3. {}222(,),1x y x y xy >+≥ 4.111123x y z ---==；5.42(,)x dx f x y dy⎰⎰ ； 6. 2(cos ,sin ,)d d f z dzπθρρρθρθ⎰⎰⎰；7.41)3； 8. -2 .二、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9. D; 10.D; 11. B; 12. A; 13. D; 14. D.三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）15. 解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 2210r r +-=解得 ：121,12r r ==- …………2分对应的齐次方程的通解为：212x xY C e C e -=+ …………3分由于()2xf x e =1λ=不是特征方程的根，故可设xy ae *=是原方程的一个特解，代入原方程得：22x x x xae ae ae e +-= …………5分消去xe ，有1a =，即xy e *=所以原方程的通解为212x x xy Y y C e C e e -=+*=++ …………7分16. 解：已知平面的法向量1n ={}3,5,7-，又{}4,10,1MN =- 设所求平面的法向量{},,n A B C = …………2分由于1n n ⊥且n MN ⊥ 所以13574101n n MN i j k =⨯=--…………4分{}75,25,50=…………6分由于所求平面过点M (8,-3,1)，故所求平面方程为75(8)25(3)50(1)0x y z -+++-=即32230x y z ++-= …………7分 17.解：22,u xy v x y ==- …………1分z z z z z 2z z z z 2u v x u x v xy xu v z u v y u y v y x y u v∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂=-∂∂…………4分…………7分18.解：(可用公式法, 也可以直接方程两边同时对自变量求偏导方法)方程两边同时对x 求偏导,z z 1z 11z ze x x x e ∂∂-=∂∂∂=∂+…………2分…………3分方程两边同时对y 求偏导,z z 1z 11z ze y y y e ∂∂-=∂∂∂=∂+所以 …………5分23z z 1()()1(1)zzz z x y y x y eee ∂∂∂∂==∂∂∂∂∂+=-+…………7分19. 解：由题意可知：D=1(,)12,x y x y x x⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭…………2分所以：222 x 122 1 221 1 23 122411()()19()244x Dx xx x d dx dyy y x dxyx x dxx x σ==-=-+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………5分…………7分20. 解：DI ()d 0d BA Q Pyx yσ∂∂=--∂∂⎰⎰⎰ …………3分22D132023()d 3d d 34x y ππσθρρπ-=-+=-=-⎰⎰⎰⎰…………5分 …………7分21. 解：收敛半径R=112lim limlim 22112n nn n n n n n ann a n →∞→∞→∞++==⋅=++…………3分 所以22x -<，得04x <<当4x =时，原级数为1n n ∞=∑，发散 …………5分当0x =时，原级数为1(1)nn n ∞=-∑，发散所以，收敛域为(0,4)…………7分四、应用题（本大题共1题，共12分） 22. 解：设球面方程2222xy z a ++=，(),,x y z 是内接长方体第一卦限内的一个顶点，则长方体的长，宽，高分别为2,2,2x y z ，体积为2228V x y z xyz =⋅⋅=…………3分F (),,x y z =8xyz +2222()x y z a λ++- …………4分 则2222820820820x y z F yz x F xz y F xy z x y z aλλλ=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩…………7分 即2222404040yz x xz y xy z x y z aλλλ+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪++=⎩解得,4x y z λλ===-= …………10分时，体积最大. …………12分 23. 证明：22z 2()()()y y y xf x f x x x x∂'=+⋅-∂…………1分2()()y yxf yf x x'=- 21()()z y x f y x xy xf x∂'=-∂'=………3分故22()()()z z y y yx y x f xyf xyf x yx x x∂∂''+=-+∂∂=22()yxf x2z =即2z zx y z x y∂∂+=∂∂ 证毕 …………5分。