B B
AA l
l
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
• 如图，点A，点B是直线l两侧的点， 请在直线l上找一点C,使AC+BC最短
联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
第十三章 轴对称
如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近 ？你的理由是什么？
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
要在河边修建一个泵站向张村引水，在何 处修建才能使所用引水管道最短？为什么？
张村
泵站
河流
垂线段最短
饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然 后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使 所走的路径最短？
点M、N应该在 l1、l2的什么位置 ?
A’
l1
M A
N
l2
A’’
走A-M- N 路线最短.
A’
l1 M
A
N
l2
A’’
变式练习2
如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草， 再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天 的最短路线。
N
P
Q
A
Ml1
B
l2
A’
P
A
l1
Q
B’
B
l2
归纳小结 1.学了三种情况下的最短路径问题
(1)两点在一条直线同侧 (2)一点在两相交直线内部 (3)两点在两相交直线内部
l1
l1
2.关键：
l2
l2
作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，
从而利用“两点之间，线段最短”来解决
新课推进
问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现 要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直）
B A
l
解决实 际问题
问题1 归纳
转化为数学问题
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
变式练习1 如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，
然后到河边饮水，最后再回到马棚A.
A
ห้องสมุดไป่ตู้
小
河
问题：请你确定这一过程的最短路径.
转化为数学问题
如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,
径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短. N
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｍ１
Ｎ１
B
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
A
B
新课推进
追问1 如图假定任选位 置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ， A 从A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短 呢？
追问2 利用线段公理解决问题我们遇到 了什么障碍呢？如何解决？
Ｍ
Ｎ B
新课推进
A
解：如图，平移A到A1，使 ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交
A1
M
河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定 长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？
.B A.
a
..
PQ
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二 的“造桥选址”问题。
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A.
A’
作法及思路分析
1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接CB′。
A C
B 问题可以转化为：当点C在直线 l 的什 么位置时，AC与CB′的和最小？如上右
l
图，在连接AB′两点的线中，线段AB′ 最短. 因此，线段AB′与直线 l 的交
点C的位置即为所求.
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最 短？
根据前面的分析，我们认为的
最短路径是AC+CB=AC+C B′= AB′
B
略证：
在直线 l 上取一个与 C点不重合的点C′ 新路径= A C′ + C′B
A
l
C′ C
=A C′ + C′B′
B′
试比较新路径与AB′的大小
结论： AC+CB这条路径最短．
a
.
. Q’
PQ
B’
归纳小结
B
A l
C
B′
轴对称 变换
A C
A
A' M a
b
N
B
平移
l
变换
B
两点之间,线段最短.