三角函数与二次函数综合卷21．如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，EF ⊥EC 交AD 于点F ，连接CF （AD ＞AE ），下列结论：①∠AEF=∠BCE ；②AF+BC ＞CF ；③S △CEF =S △EAF +S △CBE ；④若=，则△CEF ≌△CDF ．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）2．已知：BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C=60°，AB=1，BC=33+，CD=23.（1）求tan ∠ABD 的值；（2）求AD 的长.D C BA3．海上有一小岛，为了测量小岛两端A 、B 的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B 点是CD 的中点，E 是BA 延长线上的一点，测得AE ＝10海里，DE ＝30海里，且DE ⊥EC ，cos ∠D ＝35. （1）求小岛两端A 、B 的距离；（2）过点C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于点F ，求sin ∠BCF 的值.E ABFD C4．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，AC BC =，点P 是△ABC 内一点，且135APB APC ∠=∠=．AB C P（1）求证：△CPA ∽△APB ；（2）试求tan PCB ∠的值．5．如图，在梯形ABCD 中，︒=∠=∠90B A 点E 在AB 上，︒=∠45AED ，6=DE ,7=CE .（1）求AE 的长；（2）求BCE ∠sin 的值．6．如图，在△ABC 中，AD是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，AD=4．（1）求BC 的长；（2）求tan ∠DAE 的值．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8内的图象分别交OA 、AB 于点C 和点D ，连结OD ，若4=∆BOD S ，(1)求反比例函数解析式；(2)求C 点坐标．8．如图,在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，,,并且.求的长.AB =BD =12ABD CBD ∠=∠ACBD9．下图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下右图）.（10分）（1）求抛物线的关系式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离.10．已知二次函数的图象的一部分如图所示，求：（1）这个二次函数关系式，（2）求图象与x轴的另一个交点，（3）看图回答，当x取何值时y ﹤0.（12分）11．如图，直线l经过A（3,0），B（0,3）两点与二次函数y＝x2＋1的图象在第一象限内相交于点C.（1）求△AOC的面积；（2）求二次函数图象的顶点D与点B，C构成的三角形的面积．12．抛物线y=－x2＋（m－1）x＋m与y轴交于点（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）画出这条抛物线大致图象；（4）根据图象回答：①当x取什么值时，y＞0 ？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？13．立定跳远时，以小明起跳时重心所在竖直方向为y轴（假设起跳时重心与起跳点在同一竖直方向上），地平线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），则小明此跳重心所走过的路径是一条形如y=-0.2（x-1）2+0.7的抛物线，在最后落地时重心离地面0.3m（假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上）．（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面多少米？此时他离起跳点的水平距离有多少米？（2）小明此跳在起跳时重心离地面有多高？（3）小明这一跳能得满分吗（2.40m为满分）？参考答案1．①③④【解析】试题分析：∵EF ⊥EC ，∴∠AEF+∠BEC=90°，∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠AEF=∠BCE ，故①正确；又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF ∽△BCE ，∴ECEF BE AF =， ∵点E 是AB 的中点，∴AE=BE ，∴ECEF AE AF =， 又∵∠A=∠CEF=90°， ∴△AEF ∽△ECF ，∴∠AFE=∠EFC ，过点E 作EH ⊥FC 于H ，则AE=DH ，在Rt △AEF 和Rt △HEF 中，⎩⎨⎧==EHAE EF EF ， ∴Rt △AEF ≌Rt △HEF （HL ），∴AF=FH ，同理可得△BCE ≌△HCE ，∴BC=CH ，∴AF+BC=CF ，故②错误；∵△AEF ≌△HEF ，△BCE ≌△HCE ，∴S △CEF =S △EAF +S △CBE ，故③正确；若23=CD BC ，则tan ∠BCE=323222121=⨯====CD BC CD BC AB BC BE BC ， ∴∠BEC=60°，∴∠BCE=30°∴∠DCF=∠ECF=30°，又∵∠D=∠CEF, CF=CF∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．考点：1、矩形的性质；2、全等三角形；3、三角函数；4、相似三角形2．（1）1；（2【解析】试题分析：（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据∠C=60°求出CE、DE，再求出BE，从而得到DE=BE，然后求出∠EDB=∠EBD=45°，再求出∠ABD=45°，然后根据特殊角的三角函数值解答.（2）过点A作AF⊥BD于点F，求出再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式计算即可得解．⊥于点E.试题解析：（1）如图，作DE BC∵在Rt△CDE 中，∠C=60°，∵==∴DE BE 3.∴在Rt△BDE 中，∠EDB= ∠EBD=45º.∵AB⊥BC，∠ABC=90º，∴∠ABD=∠ABC-∠EBD=45º.∴ tan∠ABD=1.⊥于点F.（2）如图，作AF BD在Rt△ABF 中，∠ABF=45º, AB=1，==，∵在Rt△BDE 中，DE BE3∴在Rt△AFD考点：1.勾股定理；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值．3．(1) 16.7（海里）．【解析】试题分析：（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE 的长，AB=BE-AE即可求解；（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2．在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值．（1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，∴cos∠∴CE=40（海里），CD=50（海里）．∵B点是CD的中点，∴（海里）∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里）．答：小岛两端A、B的距离为16.7海里．（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2．在Rt△CFE中，∠CFE=90°，∴CF2+EF2=CE2，即625-x2+（25+x）2=1600．解得x=7．∴sin∠考点: 解直角三角形的应用．4．（1）证明见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）应用△ABC中角的关系求出∠PAC=∠PBA和∠APB=∠APC即可证得；（2）由等腰直角三角形，相似三角形的性质和锐角三角函数定义即可求得.试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90º,AC=BC∴∠BAC=45º，即∠PAC+∠PAB=45º，又在△APB中，∠APB=135º，∴∠PBA+∠PAB=45º，∴∠PAC=∠PBA，又∠APB=∠APC，∴△CPA ∽△APB.（2）∵△ABC 是等腰直角三角形，又∵△CPA ∽△APB ，令CP=k ，则，PB=2k ，又在△BCP 中，∠BPC=360º-∠APC-∠BPC=90º，考点：1. 等腰直角三角形的性质；2.相似三角形的判定和性质；3.锐角三角函数定义.5．（1（2 【解析】试题分析：（1）在DAE Rt ∆中，∠A=90°，∠AED=45°，DE=6，根据这些条件利用余弦函数求AE ；（2）在BCE Rt ∆中，EC=7，再利用（1）的解答结果，根据正弦函数来解答sin BCE ∠的值． 中，︒=∠90A ,︒=∠45AED ,6=DE ∴AED DE AE ∠⨯=cos =︒⨯45cos 6=；（2）∵AE AB BE -=在BCE Rt ∆中，7=EC , 考点：解直角三角形．6．（1（2 【解析】试题分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt △ADC ，得出DC=4；解Rt △ADB ，得出AB=6，根据勾股定理求出BC=BD+DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE 的值，则DE=CE-CD ，然后在Rt △ADE 中根据正切函数的定义即可求解．试题解析：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，∴DC=AD=4．在△ADB 中，∵∠ADB=90°，AD=4，∴∴∴（2）∵AE 是BC 边上的中线，∴∴∴tan ∠ 考点: 解直角三角形.7．（1（2）（2，4）． 【解析】试题分析：(1)由4=∆BOD S ，且OB=4，可求BD 的长，因此D 点坐标可求，从而确定反比例函数解析式.（2）过点C 作CE ⊥OB 于点E ．在AOB Rt ∆中，利用锐角三角函数可求出CE 和OE 的长，从而求出C 点坐标．试题解析：（1）设D （x ，y ），则有OB=x ，BD=y ．由 4=∆BOD S ，得 xy=8．k=xy ，∴k=8，（2）过点C 作CE ⊥OB 于点E ．在AOB Rt ∆中，︒=∠90ABO ，4=OB ，8=AB ，∴tan ∠CE=2EO ， 设C 点坐标为（a ，2a ），把点C （a ，2a 822=a ，解得2±=a ，∵点C 在第一象限，∴a>0，取a=2．∴C 点坐标为（2，4）．考点: 反比例函数综合题．8【解析】试题分析：在Rt △ABD 中，tan ∠即可求出∠ABD=30°，从而判断△ABC 为直角三角形，且∠C=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AC 的长.试题解析：在Rt △ABD 中，∠BDA=90°，∴tan ∠ ∴∠ABD=30°，∠A=60°∵∠CBD ∴∠CBD=60°，∠ABC=90°在Rt △ABD 中，42cos AB AC A== 考点: 解直角三角形．9．（1）y= （x-5）2＋5（0≤x ≤10）. （2）两景观灯间的距离为5米. 【解析】试题分析：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y 轴交点坐标是（0，1）设抛物线的解析式是y=A （x ﹣5）2+5把（0，1）代入y=A （x ﹣5）2+5得A=﹣∴y=﹣（x ﹣5）2+5（0≤x≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4∴4=﹣（x ﹣5）2+5 ∴（x ﹣5）2=1 ∴x 1=，x 2=∴两景观灯间的距离为﹣=5米考点：二次函数的应用10．（1）二次函数关系式为y=2x 2 -4x-6；（2）与x 轴的另一个交点是（-1，0），（3）-1﹤x﹤3【解析】试题分析：（1）由图象可知，抛物线顶点为（1，-8）所以可设二次函数为y=A （x-1）2-8，则该二次函数过（3,0）这个点所以4A-8=0；即A=2所以二次函数关系式为：y=2（x-1）2-8= y=2x 2 -4x-6;（2）当y=0时， 2x 2 -4x-6=0所以（x-3）（x+1）=0；得x=3或者x=-1所以图像与x 轴的另一个交点为（-1,0）；（3）根据图象可知：当-1＜x ＜3时，y ＜0考点：二次函数的图象及性质11．（1）3；（2）1【解析】试题分析：（1）由A （3,0），B （0,3）两点可求出一次函数的解析式为y ＝－x ＋3.联立⎩⎨⎧+=+-=132x y x y 并根据图中点C 的位置，得C 点坐标为（1,2）．∴S △AOC ＝12·|OA|·|y C |＝12×3×2＝3.（2）二次函数y＝x2＋1的顶点坐标为D（0,1）．∴S△BCD＝12·|BD|·|x C|＝12×|3－1|×1＝1.考点：1.函数图象的交点；2.二次函数性质12．（1）抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）抛物线与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0）；（3）详见解析；（4）①当-1＜x＜3时，y＞0；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小．【解析】试题分析：（1）将（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m求得m，即可得出抛物线的解析式；（2）令y=0，求得与x轴的交点坐标；令x=0，求得与y轴的交点坐标；（3）得出对称轴，顶点坐标，画出图象即可；（4）当y＞0时，即图象在一、二象限内的部分；当y＜0时，即图象在一、二象限内的部分；在对称轴的右侧，y的值随x的增大而减小．试题解析：（1）∵抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点，∴m=3，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）令y=0，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴抛物线与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0）；令x=0，得y=3，∴抛物线与y轴的交点坐标（0，3）；（3）对称轴为x=1，顶点坐标（1，4），图象如图，（4）如图，①当-1＜x＜3时，y＞0；当x＜-1或x＞3时，y＜0；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小．考点：1．抛物线与x轴的交点；2．二次函数的图象；3．待定系数法求二次函数解析式．13．（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面0.7米，此时他离起跳点的水平距离有1米；（2）小明此跳在起跳时重心离地面有0.5米高；（3）小明这一跳能得满分；【解析】试题分析：（1）由解析式即可得到；（2）在解析式中令x=0,则可得到小明在起跳时重心离地面有高度；（3）在解析式中令y=0，解方程即可得到；试题解析：（1）由解析式y=-0.2（x-1）2+0.7可知抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，0.7），所以小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面0.7米，此时他离起跳点的水平距离有1米；（2）令x=0,则y=-0.2（x-1）2+0.7=-0.2+0.7=0.5，即小明此跳在起跳时重心离地面有0.5米高；（3）令y=0，则有-0.2（x-1）2+0.7=0，解得x1 2.87>2.4，x2（舍去）所以小明这一跳能得满分；考点：二次函数的应用。