温州市高三第一次适应性测试 数学（理科）试题（2）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：柱体的体积公式：V=Sh 其中S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高锥体的体积公式：V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 台体的体积公式121()3V SS h=其中S 1， S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 球的表面积公式S =4πR2球的体积公式V =43πR3其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，Q={y|y=x 3}，则P∩Q=（）A. B.[0，+∞) C.(0，+∞)D.[1，+∞)2. 已知直线l: y=x与圆C: (x－a)2+y2=1是“直线l与圆C相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3. 已知65，则cos(6－x)= （）A.－35B.35C.－45D.454. 下列命题正确的是（）A.垂直于同一直线的两条直线互相平行B.平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C. 锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形D. 平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形5. 若函数f(x)=sinωx(ω>0)在[,]62ππ上是单调函数，则ω应满足的条件是 （ ）A.0<ω≤1B. ω≥1C. 0<ω≤1或ω=3D. 0<ω≤3 6. 设F是双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的右焦点，P是双曲线上的点，若它的渐近线上存在一点Q （在第一象限内），使得2PF PQ =，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.(1，3)B.(3，+∞)C.(1，2)D. (2，+∞)7. 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知二面角A 1－BD －A 的大小为6π，若空间有一条直线l 与 直线CC 1所成的角为4π，则直线l 与平面A 1BD 所成角的取值范围是 （ ）A.7[,]1212ππ B. [,]122ππ C. 5[,]1212ππ D. [0,]2π 8. 过边长为2的正方形中心作直线l 将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l 翻折到另一个部分上。

则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为 （ ）A.2B.2(3) C. 4(2) D. 4(3－)非选择题部分（共110分）二、 填空题 ：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分。

9. 设函数f(x)=21(),02log ,0x x x x ⎧⎪≤⎨>⎪⎩，则f(－2)= ；使f(a)<0的实数a 的取值范围是 .10.设{a n }为等差数列，S n 为它的前n 项和若a 1－2a 2=2，a 3－2a 4=6，则a 2－2a 3= ，S 7= . 11.如图是某几何体的三视图（单位：cm ），正视图是等腰梯形， 俯视图中的曲线是两个同心的半圆，侧视图是直角梯形。

则该几何体的体积等于 cm 3，它的表面积等于 cm 2.（第11题图）12. 抛物线y=ax 2的焦点为F(0，1)，P 为该抛物线上的动点，则a= ；线段FP 中点M 的 轨迹方程为13. 已知a ，b∈R，若a 2+b 2－ab=2，则ab 的取值范围是 14. 设实数x ，y 满足不等式组2212x y y x x y -≤⎧⎪-≤⎨+≥⎪⎩，若|ax －y|的最小值为0，则实数a 的最小值与最大值 的和等于 . 15.设||||2OA OB == ，∠AOB=60°，OP OA OB λμ=+，且λ+＝2，则OA 在OP上的投影的取值范围是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分15分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a －b=2，c=4， sinA=2sinB.(Ⅰ) 求△ABC 的面积； (Ⅱ) 求sin(2A －B)．17．（本题满分15分）如图，在四面休ABCD 中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2， (Ⅰ) 求证：AC⊥BD；(Ⅱ)若平面ABD⊥平面CBD ，且BD=52， 求二面角C －AD －B 的余弦值。

（第17题图）18. （本题满分15分）已知椭圆C: 的下顶点为B(0，－1)，B 到焦点的距离为2.(Ⅰ)设Q 是椭圆上的动点，求|BQ|的最大值； (Ⅱ)直线l 过定点P(0，2)与椭圆C 交于两点M ，N ，若△BMN 的面积为65，求直线l 的方程。

19．（本题满分15分）对于任意的n∈N*，数列{a n }满足1212121212121n n a n a an ---+++=++++ .(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 求证：对于n≥2，231222112nn aa a++++<-20．（本题满分14分）已知函数f(x )=1|2|kx b x +++，其中k ，b 为实数且k≠0.（I ）当k>0时，根据定义证明f(x )在(－∞，－2)单调递增；（II ）求集合M k ={b|函数f(x)有三个不同的零点}.温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题参考答案 2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.题每题4分，共36分.9．2；(0,1)． 10．4；28-． 11．14π；2021+π．12．14；2210x y -+=． 13．2[,2]3-． 14．72． 15．]2.1(-．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题15分）解法一：（I ）由B A sin 2sin =b a 2=⇒．…………………1分又∵2=-b a ，∴2,4==b a ． ………………………………………………2分874422442cos 222222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ． …………………………………4分815871cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B B ．……………………………………5分 ∴158154421sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac SABC．………………………………7分（II ）414224422cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ． (9)分415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=A A ． ………………………………10分815415412cos sin 22sin =⨯⨯==A A A ．………………………………11分87sin cos 2cos 22-=-=A A A ．………………………………………………13分∴B A B A B A sin 2cos cos 2sin )2sin(-=-…………………………………14分321578158787815=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=．…………………………………………15分 解法二：（I ）由B A sin 2sin =b a 2=⇒． …………………………………1分又∵2=-b a ，∴2,4==b a ． ……………………………………………2分又4=c ，可知△ABC 为等腰三角形． ………………………………………3分作AC BD ⊥于D ，则151422222=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b c BD ． …………5分 ∴151522121=⨯⨯=⨯⨯=∆BD AC S ABC ．……………………………7分（II ）874422442cos 222222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ．…………………………9分815871cos 1sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=B B ．…………………………………10分由（I ）知B B AC A 22-=-⇒=π．……………………………………11分∴B B B A 2sin )2sin()2sin(＝-=-π………………………………………13分B B cos sin 2= ………………………………………………………………14分878152⨯⨯=32157=． ……………………………………………………15分 17．（本题15分）（I ）证明（方法一）：∵ABD CBD ∠=∠，AB BC =，BD BD =．∴CBD ABD ∆≅∆． ∴CD AD =．………………………2分取AC 的中点E ，连结,BE DE ，则BE AC ⊥，DE AC ⊥． ………………………………………………………………3分又∵E DE BE = ， ……………………………………4分⊂BE 平面BED ，⊂BD 平面BED ，∴AC ⊥平面BED ， ……………………………………5分∴AC BD ⊥ ………………………………………………6分 （方法二）：过C 作CH ⊥BD 于点H ．连接AH ．…1分∵ABD CBD ∠=∠，AB BC =，BD BD =．∴CBD ABD ∆≅∆．∴ AH ⊥BD ．…………………3分又∵H CH AH = ，……………………………………4分 ⊂AH 平面ACH ，⊂CH 平面ACH ，∴BD ⊥平面ACH ．……………………………………5分又∵⊂AC 平面ACH ，∴BD AC ⊥．……………………………………………6分（方法三）：⋅-=⋅)(………………2分 ⋅-⋅= ………………………………3分ABD CBD ∠∠=………4分060cos 260cos 2=︒-︒=BD BD ， (5)分∴BD AC ⊥． (6)分（II ）解（方法一）：过C 作CH ⊥BD 于点H ．则⊂CH 平面BCD ，又∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD ＝， ∴CH ⊥平面ABD ． ……………………………………8分过H 做HK ⊥AD 于点K ，连接CK ． ………………9分 ∵CH ⊥平面ABD ，∴CH ⊥AD ，又H CH HK = ，∴AD ⊥平面CHK ，∴CK ⊥AD ．…………………10分 ∴CKH ∠为二面角C AD B --的平面角． …………11分 连接AH ．∵CBD ABD ∆≅∆，∴ AH ⊥BD ． ∵60ABD CBD ︒∠=∠=，2AB BC ==，∴3==CH AH ，1BH =．∵52BD =，∴32DH =． (12)分∴2AD =∴AH DH HK AD⋅==分 ∴321tan ==∠HKCH CKH ，…………………………………………14分∴cos CKH ∠=． ∴二面角C AD B--的余弦值为分（方法二）：由（I ）过A 作AH ⊥BD 于点H ，连接CH ∵CBD ABD ∆≅∆，∴ CH ⊥BD ．∵平面ABD ⊥平面BCD ，∴AH ⊥CH ．…………………………7分分别以,,HC HD HA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．………………8分∵60ABD CBD ︒∠=∠=，2AB BC ==， ∴3==CH AH ，1BH =．∵52BD =，∴32DH =． (9)分3(0,1,0),(0,,0)2A C B D ∴-． (10)分可得)3,0,3(-=，)0,23,3(-=．………11分设平面ACD 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-=⋅0233033y x z x AC n ，取2=y ， 得一个)3,2,3(=．……………………………………………………12分取平面ABD 的法向量为)0,0,1(=．……………………………………13分1030103||||===m n ．……………………………………14分 ∴二面角C AD B--的余弦值为分18．（本题15分）解：（I ）由椭圆的下顶点为(0,1)B -知1=b ． ………1分由B 到焦点的距离为2知2=a ．………………………………………2分所以椭圆C 的方程为1422=+y x．……………………………………3分设),(y x Q ，22)1(++=y x BQ ……………………………………4分22)1()1(4++-=y y )11(316)31(32≤≤-+--=y y ．……………5分∴当31=y 时，334max =BQ ． …………………………………………6分 （II ）由题设可知l 的斜率必存在．………………………………………………7分 由于l 过点(0,2)P ，可设l 方程为2+=kx y ．……………………………8分与1422=+y x联立消去y 得01216)41(22=+++kx x k ．……………9分其0)34(16)41(48)16(222>-=+-=∆k k k 432>⇒k ．（*）……10分设),(),(2211y x N y x M ，则)41(234416222,1k k k x +-±-=． (11)分 解法一：BP x x S BMN ⋅-=∆2121 (12)分564134622=+-=kk ． ………………………………………………………13分解法二：2211k xx MN +-=，B 到l 的距离213kd +=．d MN S BMN ⋅⋅=∆212123x x -=………………………………………………………………12分564134622=+-=kk ． ………………………………………………………13分解得12=k 或4192=k 均符合（*）式．…………………………………14分 ∴1±=k 或219±=k ． 所求l方程为02=+-±y x 与04219=+-±y x ．………………15分 19．（本题15分）（I ）解：由1121221212211+=+-+++-++-n n a a a nn ．①当2≥n 时得n n a a a n n =+--+++-++---12)1(122121112211 ．②……………2分 ①－②得)2(112≥=+-n na n n． (4)分∴)2(12≥++=n n a nn． ………………………………………………5分 又72121111=⇒=+-a a ．…………………………………………………………6分 综上得7, 1 21, 2n nn a n n =⎧=⎨++≥⎩．……………………………………………………7分 （II ）证明：当2≥n 时，121221222-=<++=n n n n n a ． ………………………10分n n a a a 2121212222132+++<++++ ………………………………………11分n211-=．…………………………………………………………………………13分∴当2≥n 时，nn a a a 211222132-<++++ ．………………………………15分 20．（本题14分）（I ）证明：当(,2)x ∈-∞-时，b kx x x f ++-=＋21)(．……1分任取12,(,2)x x ∈-∞-，设21x x >．……………………………………………2分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-b kx x b kx x x f x f 2211212121)()( 12121()(2)(2)x x k x x ⎡⎤=-+⎢⎥++⎣⎦． ……………………………………………4分 由所设得021<-x x ，0)2)(2(121>++x x ，又0>k ，∴)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <．……………………………………5分∴()f x 在)2,(--∞单调递增．……………………………………………………6分 （II ）解法一：函数)(x f 有三个不同零点，即方程021=+b kx x ＋＋有三个不同的实根．方程化为：⎩⎨⎧=++++->0)12()2(22b x k b kx x 与⎩⎨⎧=-+++-<0)12()2(22b x k b kx x ．…7分记2()(2)(21)u x kx b k x b =++++，2()(2)(21)v x kx b k x b =+++-． ⑴当0>k 时，)(),(x v x u 开口均向上．由01)2(<-=-v 知)(x v 在)2,(--∞有唯一零点．…………………………………8分为满足)(x f 有三个零点，)(x u 在),2(+∞-应有两个不同零点．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+->+-+>- 2220)12(4)2(0)2(2k k b b k k b u k k b 22-<⇔．…………………………………10分⑵当0<k 时，)(),(x v x u 开口均向下． 由01)2(>=-u 知)(x u 在),2(+∞-有唯一零点．为满足)(x f 有三个零点， )(x v 在)2,(--∞应有两个不同零点．………………………………………………11分∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+->--+<- 2220)12(4)2(0)2(2k k b b k k b v kk b --<⇔22．……………………………13分 综合⑴⑵可得{|2k M b b k =<-． (14)分 解法二：⎪⎩⎪⎨⎧->+++-<+++-=2,212,2)(x b kx x x b kx x x f １． …………………………………7分⑴当0>k 时，)(x f 在)2,(--∞单调递增，且其值域为R ，所以)(x f 在)2,(--∞有一个零点．……………………………………………………………………………………8分为满足)(x f 都有三个不同零点，)(x f 在),2+∞（－应有两个零点．2->x 时，b k x k x x f +-+++=2)2(21)(b k k b k x k x +-=+-+⋅+≥222)2(212．………………………………9分)(x f 在⎥⎦⎤⎝⎛+-k 12,2－单调递减，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+-,12k 单调递增，且在这两个区间上的值域均为[)+∞+-,22b k k ．∴当022<+-b k k 即k k b 22-<时，)(x f 在),2+∞（－有两个零点．从而)(x f 有三个不同零点．………………………………………………………………………………………10分⑵当0<k 时，)(x f 在),2(-∞-单调递减，且其值域为R ，所以)(x f 在),2(-∞-有一个零点．……………………………………………………………………………………11分为满足)(x f 都有三个不同零点，)(x f 在)2,－（∞-应有两个零点．2-<x 时，1()(2)22f x k x k b x =-++-++2k b ≥+． ……………………………………………………………12分 )(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞k －－－12,单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,12－－－k 单调递增．且在这两个区间上的值域均为[)+∞+-,22b k k －∴当022<+-b k k －即k k b －22-<时，)(x f 在)2,－（∞-有两个零点．从而)(x f 有三个不同零点．………………………………………………………………………13分 综合⑴⑵可得{|2kM b b k =<-．…………………………………………14分解法三：函数)(x f 都有三个不同零点，即方程kx x b -+-=21有三个不同的实根．令kx x x g -+-=21)(．则⎪⎩⎪⎨⎧->-+--<-+=2,212,2)(x kx x x kx x x g １．………………7分⑴当0>k 时，若2-<x ，)(x g 单调递减，且其值域为R ，所以b x g =)(在)2,(--∞有一个实根． ……………………………………………………………………………8分为满足)(x f 都有三个不同零点，b x g =)(在),2+∞（－应有两个实根．2->x 时，k x k x x g 2)2(21)(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=k k k x k x 222)2(212+-=++⋅+-≤．…………………………………9分)(x g 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+k 122，－－单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+-,12k 单调递减，且在这两个区间上的值域均为(]k k 22-∞，－．∴当k k b 22-<时，b x g =)(在),2+∞（－有两个实根．从而)(x f 有三个不同零点．………………………………………………………………………………………10分⑵当0<k 时，若2->x ，)(x g 单调递增，且其值域为R ，所以b x g =)(在),2(-∞-有一个实根．…………………………………………………………………………………11分为满足)(x f 都有三个不同零点，b x g =)(在)2,－（∞-应有两个实根．2-<x 时，k x k x x g 2)2(21)(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=＋－－k k k x k x 222)2(212+-=++⋅+≤－－－．………………………………12分)(x g 在⎥⎦⎤⎝⎛-∞k －－－12,单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,12－－－k 单调递减．且在这两个区间上的值域均为(]k k --∞22，－．∴当k k b --<22时，b x g =)(在(,2)-∞-有两个实根．从而)(x f 有三个不同零点．………………………………………………………………………………………13分 综合⑴⑵可得{|2kM b b k =<-．……………………………………14分解法四：函数)(x f 有三个不同零点，即方程21+-=+x b kx 有三个不同的实根．亦即函数b kx y +=与函数21)(+-=x x h 的图象有三个不同的交点．⎪⎩⎪⎨⎧->+--<+=2,212,2)(x x x x x h １．……………………………………………………7分⑴当0>k 时，直线b kx y +=与)(x h 图象左支恒有一个交点．…………8分为满足)(x f 都有三个不同零点，直线b kx y +=与)(x h 图象右支应有两个交点．∴2->x 时，方程21+-=+x b kx 应有两个实根． 即)2(0)12()2(2->=++++x b x k b kx应有两个实根． 当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+->+-+>++-⋅++-⋅2220)12(4)2(0)12()2()2()2(22k k b b k k b b k b k k k b 22-<⇔．………10分 ⑵当0<k 时，直线b kx y +=与)(x h 图象右支恒有一个交点．……………11分为满足)(x f 都有三个不同零点，直线b kx y +=与)(x h 图象左支应有两个交点．∴2-<x 时，方程21+=+x b kx 应有两个实根． 即)2(0)12()2(2-<=+++x b x k b kx－应有两个实根． 当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+->--+<-+-⋅++-⋅2220)12(4)2(0)12()2()2()2(22k k b b k k b b k b k k k b --<⇔22．………13分 综合⑴⑵可得{|2k M b b k =<-． (14)分。