江苏省苏州市2019—2020学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷高三数学试题2020．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}1x x ≥，B ＝{﹣1，0，1，4}，则A I B ＝ ．2．已知i 是虚数单位，复数z ＝(1＋bi )(2 ＋i )的虚部为3，则实数b 的值为 ．3．从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为 ．4．为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是 ．5．如图是一个算法流程图，若输入的x 值为5，则输出的y 值为 ．第4题 第5题 第9题6．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“1a ＜2a ”是“3a ＜5a ”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）7．在平面直角坐标系xOy 中，己知点F 1，F 2是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 的坐标为(0，b )，若∠F 1PF 2＝120°，则该双曲线的离心率为 ．8．若x ，y 满足约束条件0010x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z ＝x ＋3y 的最大值为 ．9．如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为25π，弧长为4πcm 的扇形，则该冰淇淋的体积是 cm 3．10．在平面直角坐标系xOy 中，若直线x ＋my ＋m ＋2＝0(m ∈R)上存在点P ，使得过点P 向圆O ：222x y +=作切线PA （切点为A ），满足PO PA ，则实数m 的取值范围为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：12y =与函数()sin()6f x x πω=+(ω＞0)的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为A 1，A 2，…，若点A 1的横坐标为1，则点A 2的横坐标为 ．12．如图，在平面四边形ABCD 中，已知AD ＝3，BC ＝4，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ EF ⋅u u u r u u r的值为 ．13．已知实数x ，y 满足2()12x x y y +=+，则2254x y -的最小值为 ． 第12题14．已知函数2()4825x exx e f x x x x⎧≤⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩，，（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程2()f x 23()20a f x a -+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知向量a r ＝(sin x ，34)，b r ＝(cos x ，﹣1)．（1）当a r ∥b r时，求tan2x 的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，且x ∈(0，2π)，求()f x 的最大值以及对应的x 的值．16．（本题满分14分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）若DE⊥AB，求证：AB⊥B1C．17．（本题满分14分）为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地(如图)租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB中，∠AOB＝23π，OB＝23(百米)，荒地内规划修建两条直路AB，OC，其中点C在»AB上(C与A，B不重合)，在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设∠BDC＝θ，蜂果区的面积为S(平方百米)．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，蜂巢区的面积S最小，并求此时S的最小值．18．（本题满分16分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P 作x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q ，当点Q 在点P 的上方时，称点Q 为点P 的“上辅点”．已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0) 上的点(1)的上辅点为(1．（1）求椭圆E 的方程； （2）若△OPQ 的面积等于12，求上辅点Q 的坐标； （3）过上辅点Q 作辅圆的切线与x 轴交于点T ，判断直线PT 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足12n n S na a =+，34a =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和． （1）求1a 和2a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设12311112462n n T S S S S n=++++++++L (N n *∈)．①若123T T T =，求k 的值；②求证：数列{}n T 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．20．（本题满分16分）已知函数ln ()a xf x x+=(a ∈R)． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（3）证明：当a ∈(0，12)时，函数()()h x f x ax =-有两个零点1x ，2x ，且满足11x +211x a<．江苏省苏州市2019—2020学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷高三数学试题答案2020．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}1x x ≥，B ＝{﹣1，0，1，4}，则A I B ＝ ． 【答案】{1,4}2．已知i 是虚数单位，复数z ＝(1＋bi )(2 ＋i )的虚部为3，则实数b 的值为 ． 【答案】1.【解答】z=2-b+(2b+1)i ，因此2b+1=3,b=1.3．从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为 ． 【答案】32 【解答】三人中选二人有23C 种选法，一男一女的选法共有1112C C 种，因此选中的恰好是一男一女的概率为231112C C C =32。

4．为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是 ． 【答案】100. 【解答】[5，7)之间的组距频率=0.24+0.20=0.44，因此车辆总数=440÷0.44=1000。

所以[8，9)之间通过的车辆数为1000×0.10=100辆。

5．如图是一个算法流程图，若输入的x 值为5，则输出的y 值为 ． 【答案】2.【解答】x=5，因此x<0，因此y=log 2(x-1)=log 2(5-1)=log 24=2.第4题 第5题 第9题6．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“1a ＜2a ”是“3a ＜5a ”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”） 【答案】充分不必要。

【解答】由10a >，“1a ＜2a ”，a 2=a 1q ，得q>1，因此a 5=a 3q 2>a 3，所以“1a ＜2a ”是“3a ＜5a ”的充分条件；若“3a ＜5a ”，即a 5=a 3q 2>a 3，所以q 2>1，q>1或q<-1。

当q<-1时，a 2=a 1q<a 1，因此“1a ＜2a ”是“3a ＜5a ”的不必要条件。

7．在平面直角坐标系xOy 中，己知点F 1，F 2是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 的坐标为(0，b )，若∠F 1PF 2＝120°，则该双曲线的离心率为 ．【答案】26 【解答】由对称性知∠F1PO=60°，所以360tan F tan F 11=︒=∠==PO bcOP O ，因此2623)3()3(22222222==-=-===bb b bc c a c a c e 。

8．若x ，y 满足约束条件0010x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z ＝x ＋3y 的最大值为 ．【答案】3.【解答】画出（x,y ）满足的区域，不难看出当z=x+3y 过点（0,1）时取最大值3.9．如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为25π，弧长为4πcm 的扇形，则该冰淇淋的体积是 cm 3．【答案】π331616+。

【解答】圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为25π，弧长为4πcm 的扇形，从而圆锥底面圆半径r=πππ弧长242==2，母线长l=10524==ππ圆心角弧长，由勾股定理可求的圆锥体的高64210h 2222=-=-=r l 。

半球体积331234213421⨯⨯=⨯=ππr V =π316。

圆锥体体积πππ361664231r 31222=⨯⨯==h V 。

因此冰淇淋的体积为21V V V +==π331616+。

【点评】本题考察范围较多，涉及到圆锥体侧面展开图求母线求底面圆半径，勾股定理求圆锥体高以及圆锥体体积公式和球体积公式，计算量较大，考查学生的计算能力。

属于中档题。

10．在平面直角坐标系xOy 中，若直线x ＋my ＋m ＋2＝0(m ∈R)上存在点P ，使得过点P 向圆O ：222x y +=作切线PA （切点为A ），满足PO ＝2PA ，则实数m 的取值范围为 ．【答案】m ≥34或m ≤0. 【解答】由勾股定理知道：222r PO +=PA ，又PO ＝2PA ，因此PA 2=r 2，即PA=r ，因此PO=r 2，现在即将题目转化为：直线上存在点到圆心距离为r 2。

因此只要让圆心到直线的最小距离d ≤r 2即可。

221|200|22⨯≤++++=m m d ，即2m 12|2m |+≤+，两边平方整理得0432≥-m m ，解此不等式得m ≥34或m ≤0. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：12y =与函数()sin()6f x x πω=+(ω＞0)的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为A 1，A 2，…，若点A 1的横坐标为1，则点A 2的横坐标为 ． 【答案】3.【解答】点A 1的横坐标为1，纵坐标为21，代入函数)6sin()(π+=x x f ω得，21)6(sin =+πω。