高二（上）期末数学试卷一、单项选择（每小题5分，共计60分）1．（5分）在△ABC中，已知A=60°，a=4，b=4，则∠B的度数是（）A．135°B．45°C．75°D．45°或135°2．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定3．（5分）已知等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，则a4=（）A．﹣16 B．16 C．±16 D．324．（5分）已知等差数列{a n}中，a5+a9=2，则S13=（）A．11 B．12 C．13 D．145．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（）A．|a|＞﹣b B．C．D．6．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．2607．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．558．（5分）设集合A={x|x﹣2＞0}，B={x|x2﹣2x＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞010．（5分）椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON为（）A．2 B．C．8 D．411．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=012．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值．14．（5分）过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为．15．（5分）给出以下四个判断，其中正确的判断是（1）若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题（2）命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4且y ＜2”（3）若x≠300°，则cosx≠（4）命题“∃x0∈R，e≤0”是假命题．16．（5分）在△ABC中，已知b=，c=3，B=30°，则a=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c）（c ＞0），离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2﹣，求椭圆的方程．18．（12分）已知△abc的周长为10，且sinB+sinC=4sinA．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若bc=16，求角A的余弦值．19．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．20．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（x﹣3）（x﹣2）≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．（12分）已知等比数列{a n}中，s n为前n项和且a1+a3=5，s4=15，（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设b n=3log2a n，求b n的前n项和T n的值．22．（12分）已知椭圆过左焦点的直线l的倾角为45°与椭圆相交于A，B两点（1）求AB的中点坐标；（2）求△ABF2的面积．参考答案与试题解析一、单项选择（每小题5分，共计60分）1．（5分）在△ABC中，已知A=60°，a=4，b=4，则∠B的度数是（）A．135°B．45°C．75°D．45°或135°【解答】解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理得：sinB===，∵a＞b，可得A＞B，∴B=45°．故选：B．2．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定【解答】解：∵角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，∴根据正弦定理，整理得a：b：c=5：12：13，设a=5x，b=12x，c=13x，满足（5x）2+（12x）2=（13x）2因此，△ABC是直角三角形．故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，则a4=（）A．﹣16 B．16 C．±16 D．32【解答】解法一：∵等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，∴，解得或，∴a4==16．故选：B．解法二：∵等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，∴a42=a2a6=4×64=256，∵偶数项的符号相同，∴a4=16．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a5+a9=2，则S13=（）A．11 B．12 C．13 D．14【解答】解：∵在等差数列{a n}中，S n=∴S13====13故选C5．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（）A．|a|＞﹣b B．C．D．【解答】解：∵a＜0，∴|a|=﹣a，∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞﹣b，故结论A成立；取a=﹣2，b=﹣1，则∵，∴B不正确；，∴，∴C不正确；，，∴，∴D不正确．故选A．6．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260【解答】解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，a1解得d=，a1=，∴s3m=3ma1+d=3m+=210．故选C．解法2：∵设{a n}为等差数列，∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100=70×2，解得s3m=210．故选C．a17．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D8．（5分）设集合A={x|x﹣2＞0}，B={x|x2﹣2x＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵A={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，B={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．故选A．9．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0【解答】解：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：∃x0∈R，x﹣x+1＞0，故选：C．10．（5分）椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON为（）A．2 B．C．8 D．4【解答】解：椭圆，可得a=5，∴|MF1|+|MF2|=2a=10，又|MF1|=2，∴|MF2|=8，∵N是MF1的中点，O为F1F2的中点，∴|ON|=|MF2|=4．故选：D．11．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=0【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得又弦中点为（4，2），故k=，故这条弦所在的直线方程y﹣2=（x﹣4），整理得x+2y﹣8=0；故选D．12．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆定义有4a=8∴a=2，所以k+2=a2=4∴k=2．从而b2=k+1=3，c2=a2﹣b2=1，所以，故选A二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值3+2．【解答】解：根据题意，x+2y=1，则=（x+2y）•（）=3+≥3+2=3+2，故答案为3+2．14．（5分）过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为8．【解答】解：由椭圆，可得a=2；椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4．∴△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8．故答案为：8．15．（5分）给出以下四个判断，其中正确的判断是（4）（1）若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题（2）命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4且y ＜2”（3）若x≠300°，则cosx≠（4）命题“∃x0∈R，e≤0”是假命题．【解答】解：（1）若“p或q”为真命题，则两个没有至少一个是真命题，所以判断p，q均为真命题是不正确的；（2）命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4或y ＜2”，所以原判断不正确；（3）若x≠300°，则cosx≠，反例x=60°，cosx=，所以（3）不正确；（4）命题“∃x0∈R，e≤0”是假命题．由指数函数的值域可知，命题是假命题，所以（4）正确；故答案为：（4）．16．（5分）在△ABC中，已知b=，c=3，B=30°，则a=或2．【解答】解：∵b=，c=3，B=30°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB可得：3=a2+9﹣2×a×3×cos30°，整理可得：a2﹣3a+6=0，∴a=或2．故答案为：或2．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c）（c ＞0），离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2﹣，求椭圆的方程．【解答】解：∵e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2﹣，∴=，a﹣c=2﹣，解得a=2，c=，∴b2=a2﹣c2=1，由此可得椭圆的方程为．18．（12分）已知△abc的周长为10，且sinB+sinC=4sinA．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若bc=16，求角A的余弦值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）根据正弦定理，sinB+sinC=4sinA，可化为b+c=4a，…（3分）联立方程组，解得a=2．…（5分）所以，边长a=2．…（6分）（Ⅱ）由bc=16，又由（Ⅰ）得b+c=8，得b=c=4，…（8分）∴=．…（10分）因此，所求角A的余弦值是．…（12分）19．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．20．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（x﹣3）（x﹣2）≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由（x﹣1）（x﹣3）＜0，得P={x|1＜x＜3}，（x﹣3）（x﹣2）≤0，可得Q={x|2≤x≤3}，由p∧q为真，即为p，q均为真命题，可得x的取值范围是2≤x＜3；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，由题意可得P={x|a＜x＜3a}，Q={x|2≤x≤3}，由Q⊊P，可得a＜2且3＜3a，解得1＜a＜2．21．（12分）已知等比数列{a n}中，s n为前n项和且a1+a3=5，s4=15，（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设b n=3log2a n，求b n的前n项和T n的值．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3=5，s4=15，q≠1．∴a1（1+q2）=5，=15，联立解得a1=1，q=2．∴a n=2n﹣1．（2）b n=3log2a n=3（n﹣1）．∴数列{b n}的前n项和T n==﹣n．22．（12分）已知椭圆过左焦点的直线l的倾角为45°与椭圆相交于A，B两点（1）求AB的中点坐标；（2）求△ABF2的面积．【解答】解：（1）由椭圆方程：知，a=，b=，c==1∴F1（﹣1，0），F2（1，0）直线l的斜率k=tan45°，∴l的方程为y=x+1，，整理得：5x2+6x﹣3=0设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴x0==﹣，则y0=x0+1=，∴中点坐标为M（﹣，）；（2）F2到直线l距离d===，|AB|==∴S=|AB|×d=××=，△ABC∴△ABF2的面积．。