[学业水平训练]
1．动点P 到点M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( )
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．两条射线
D ．一条射线
解析：选D.依题意|PM |－|PN |＝2＝|MN |，
所以点P 的轨迹不是双曲线，而是一条射线．
2．若方程x 210－k ＋y 2
5－k
＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．(5,10) B ．(－∞，5)
C ．(10，＋∞)
D ．(－∞，5)∪(10，＋∞) 解析：选A.由题意得(10－k )(5－k )<0，解得5<k <10.
3．以椭圆x 23＋y 24
＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )
A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23
＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24
＝1 解析：选B.椭圆x 23＋y 24
＝1的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，长轴的端点A 1(0,2)，A 2(0，－2)，所以对于所求双曲线a ＝1，c ＝2，b 2＝3，焦点在y 轴上，双曲线的方程为y 2－x 23
＝1.
4．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn ＜0，则方程表示的曲线是( )
A ．焦点在x 轴上的椭圆
B ．焦点在x 轴上的双曲线
C ．焦点在y 轴上的椭圆
D ．焦点在y 轴上的双曲线
解析：选D.将方程化为y 2－n m －x 2
－n m
＝1. 5．若点M 在双曲线x 216－y 24
＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且|MF 1|＝3|MF 2|，则|MF 2|等于( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．12
解析：选B.双曲线中a 2＝16，a ＝4,2a ＝8，由双曲线定义知||MF 1|－|MF 2||＝8，又|MF 1|＝3|MF 2|，所以3|MF 2|－|MF 2|＝8，解得|MF 2|＝4.
6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29
＝1的一个焦点，则m ＝________. 解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29
＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.
答案：16
7．已知双曲线的焦点分别为(0，－2)、(0,2)，且经过点P (－3，2)，则双曲线的标准方程是________．
解析：由题知c ＝2，又点P 到(0，－2)和(0,2)的距离之差的绝对值为2a ，
2a ＝|(－3－0)2＋[2－(－2)]2－(－3－0)2＋(2－2)2|＝2，∴a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝3.又焦点在y 轴上，
∴双曲线的方程为y 2
－x 23
＝1. 答案：y 2－x 23＝1 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 2
12
＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和(94
，5)． (2)与双曲线x 216－y 2
4
＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 解：(1)由已知，可设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎨⎧ 32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝16，
b 2＝9， 所以双曲线的方程为y 216－x 29
＝1. (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知c ＝2 5. 因为双曲线过点(32，2)， 所以(32)2a 2－4b
2＝1. 又因为a 2＋b 2＝(25)2，
所以a 2＝12，b 2＝8.
故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1. 10．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．
解：因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．
因为双曲线过点P (42，－3)，
所以32a 2－9b
2＝1.① 又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，
所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0.
解得c 2＝25.②
又c 2＝a 2＋b 2，③
所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. [高考水平训练] 1．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )
A.365
B.566
C.65
D.56
解析：选C.
不妨设点F 1(－3,0)，
容易计算得出
|MF 1|＝36＝62
， |MF 2|－|MF 1|＝2 6.
解得|MF 2|＝52
6. 而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中，
由12|MF 1|·|F 1F 2|＝12
|MF 2|·d ， 求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65
. 2．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝
0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．
解析：由题意可设双曲线方程为
x 2a 2－y 2b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)． 由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得
|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.
根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a .
两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得
20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为x 24
－y 2＝1. 答案：x 24
－y 2＝1 3．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求C 的圆心轨迹L 的方程．
解：设两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，两圆相离，
由题意得||CF 1|－|CF 2||＝4＜25＝|F 1F 2|，
从而得动圆的圆心C 的轨迹是双曲线，
且a ＝2，c ＝5，所以b ＝(5)2－22＝1，
所求轨迹L 的方程为x 24
－y 2＝1.
4．如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 2
16
＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；
(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．
解：双曲线的标准方程为x 29－y 216
＝1， 故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.
(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.
故点M 到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得
|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，
∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.
在△F 1PF 2中，由余弦定理得
cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|
＝100－1002|PF 1|·|PF 2|
＝0， ∴∠F 1PF 2＝90°，
∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12
×32＝16.。