二次函数与图形面积 练习题
基础题
知识点 二次函数与平面面积
1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( )
A ．60 m 2
B ．63 m 2
C ．64 m 2
D ．66 m 2
2．用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形，那么a 的值不可能为( )
A ．20
B ．40
C ．100
D ．120
3．用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是
( )
A.6425 m 2
B.43
m 2 C.83
m 2 D ．4 m 2
4．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是( )
5．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m 长的篱笆围一个矩形场地．当AD ＝________时，矩形场地的面积最大，最大值为________．
6．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，点P 从点A 开始沿AB 向B 点以2 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向C 点以1 cm/s 的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，当△PBQ 的面积为最大时，运动时间t 为________s.
7．将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________ cm2.
8．已知直角三角形两条直角边的和等于20，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
9．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)
中档题
10．如图，有一块边长为6 cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( ) A. 3 cm 2 B.32
3 cm 2 C.92 3 cm 2 D.272
3 cm 2
11．如图，正方形ABCD 的边长为3 cm ，动点P 从B 点出发以3 cm/s 的速度沿着边BC －CD －DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发以1 cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为x(s)，△BPQ 的面积为y(cm 2)，则y 关于x 的函数图象是( )
12．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S(单位：cm 2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；
(2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？
13．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．
(1)求y 关于x 的函数关系式；
(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
综合题
14．如图，正方形ABCD 的边长为2 cm ，△PMN 是一块直角三角板(∠N ＝30°)，PM ＞2 cm ，PM 与BC 均在直线l 上，开始时M 点与B 点重合，将三角板向右平行移动，直至M 点与C 点重合为止．设BM ＝x cm ，三角板与正方形重叠部分的面积为y cm 2.
下列结论：
①当0≤x ≤233时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝32
x 2； ②当233<x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝2x －23
3；
③当MN经过AB的中点时，y＝1
2 3 cm
2；
④存在x的值，使y＝1
2S正方形ABCD(S正方形ABCD表示正方形ABCD的面积)．
其中正确的是________(写出所有正确结论的序号)．
参考答案
基础题
1.C
2.D
3.C
4.B
5.20 m 800 m 2
6.2
7.252
8.设直角三角形的一直角边长为x ，则另一直角边长为(20－x)，其面积为y ，则y ＝12x(20－x)＝－12
x 2＋10x ＝－12
(x －10)2＋50.当x ＝10时，面积y 值取最大，y 最大＝50. 9.根据题意，得y ＝20x(1802
－x)．整理得y ＝－20x 2＋1 800x ＝－20(x 2－90x ＋2 025)＋40 500＝－20(x －45)2＋40 500.∵－20＜0，∴当x ＝45时，函数有最大值，y 最大值＝40 500.即当底面的宽为45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为40 500 cm 3.
中档题
10.C 11.C
12.(1)S ＝－12
x 2＋30x. (2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12
＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.
13.(1)y ＝x(16－x)＝－x 2＋16x(0<x<16)．
(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.∴当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米．
(3)当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得x 2－16x ＋70＝0.∵Δ＝256－280＝－24<0，∴此方程无实数根．∴不能围成面积为70平方米的养鸡场．
综合题
14．①②④。