高三上学期摸底自测
理科数学试卷
本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数i a z 3)2(+-=为纯虚数，则ai
i a ++12000
的值为
A ．i
B ．1
C ．－1
D ．－I
2．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ×Q={ab | a ∈P ，b ∈Q}，若P={0，1，2}，Q={2，3，4}，则P ×Q 的元素个数是 A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
3．已知x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤-+≤-+>>0
153016400y x y x y x ，且y ax z +=的最大值为7，则a 的值是
A ．1
B ．－1
C ．
5
7
D ．5
7-
4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 1到平面BDC 1的距离为
A ．
2
2 B ．
3
3 C ．
2
1 D ．
3
6 5．已知)(x f y =的导数)('x f y =的图像如图3—1—1，则 A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
图3—1—1
B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点
C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点
D ．函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点
6．已知函数d cx bx ax x f +++=2
3
)(的图像如图3—1—2所示，则 A ．00>>b a ， B ．00<<b a ， C ．00<>b a ，
D ．00><b a ，
7．已知a ，m ，n 是直线，α，β，γ是平面，给出下列四个命题： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α//β
②若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//β； ③若α//γ，β//γ，则α//β；
④若α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β； ⑤若β⊥α，a ⊥α，则a //β 其中正确命题的个数有 A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
8．已知双曲线C ：122
22=-b
y a x 的焦点为21F F 、，M 为双曲线上一点，以21F F 为直径的圆与双曲
线的一个交点为M ，且2
1
tan 21=F MF ，则双曲线的离心率为 A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
9．已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，且，
，3311b a b a ==57b a =，那么 A ．13b a =
B ．1131b a =
C ．1163b a =
D ．1163a b =
10．在函数x
y 3=，x y x y x y x y cos sin tan log 3====，，，这5个函数中，满足“对［0，1］
图3—1—2
中任意1x 和2x ，任意0≥λ，λ
x f λx f λx λx f ++≤++1)
()(1)(2121恒成立”的函数个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．已知三棱锥P —ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0=→
⋅→PB PA ，0=→⋅→PC PB ，0=→
⋅→PA PC ，则三棱锥P —ABC 的侧面积的最大值为
A ．2
B ．1
C ．
2
1 D ．
4
1 12．过平行六面体的任意两个顶点的直线共有28条，其中异面直线有 A ．150对 B ．162对
C ．174对
D ．186对
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中横线上。

13．已知a =（1，－1），非零向量a +b 与a 反向，则a ·b 的取值范围是________。

14．直线l ：0=+by ax 与圆C ：01222
2
=+--+y x y x 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则
=→
⋅→OB OA _________。

15．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆。

这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌的张数是_________。

16．如图3—1—3，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个
过程中向量→OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则=+6
cos 6sin θ
θ________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题12分）
设函数)(cos sin )sin cos 2()(2
R x x x x a x x f ∈++=，且)4
()2(πf π
f =。

（1）求实数a 的值，并将)(x f 写成sin A (x ω+ϕ)的形式；
（2）利用“五点法”作出)(x f 的图像，并根据图像指出)(x f 取最大和最小值时对应的x 值。

18．（本小题12分）
美国NBA 篮球总决赛采用七局四胜利，即先胜四局的队获胜，比赛结束，2005年美国东部活塞队与西部马刺队分别进入决决赛，已知马刺队与活塞队的实力相当，即单局比赛每队获胜的概率均
为
2
1，若每局比赛组织者可获利100万美元，设各局比赛相互间没有影响，组织者在本次比赛获利ξ万美元，求ξ的概率分布与期望。

19．（本小题12分）
已知函数36)2(2
3
)(23-++-
=x x a ax x f 。

（1）当a >2时，求函数)(x f 的极小值；
（2）试讨论曲线=y )(x f 与x 轴的公共点的个数。

20．（本小题12分）
如图3—1—5所示，在底面是直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，∠DAB=90°，PA ⊥平面ABCD ，
PA=AB=BC=1，AD=2，M 是PD 的中点。

（1）求证MC//平面PAB ；
（2）在棱PD 上找一点Q ，使二面角Q —AC —D 的正切值为
2
2； （3）若点N 为平面PAB 内的一点，且MN ⊥平面PCD ，求点N 到平面ABCD 和平面PAD 的距离。

21．（本小题12分）
已知点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，且0=→⋅→PF PM ，动点N 满足02=→
+→NM PN 。

（1）求点N 的轨迹C 的方程；
（2）'F 为曲线C 的准线与x 轴的交点，过点'F 的直线l 交曲线C 于不同的两点A 、B ，若D
为AB 的中点，在x 轴上存在一点E ，使0)(=→-→⋅→AD AE AB ，求||→
OE 的取值范围（O 为坐标原点）；
（3）Q 为直线1-=x 上任一点，过Q 点作曲线C 的两条切线l 1、l 2，求证l 1⊥l 2。

22．（本小题14分）
已知函数)1(1
2
)(-≠++=
x x x x f ，设数列}{n a 满足)(1n n a f a =+。

（1）若11->a ，试比较n a 与2的大小，并证明你的结论； （2）若11->a ，且21≠
a ，试比较12-n a 与12+n a 的大小；
（3）若11=a ，证明：
7
)
122(2|2||2||2||2|321-≤
-++-+-+-n a a a a 。