指数函数《指数函数》是普通高中课程标准实验教科书北师大版数学必修1第三章第三节，它是在学习了函数的现代定义及其图象、性质和简单的指数运算，掌握了研究函数的一般思路的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础.本节内容分三课时完成，第一课时学习指数函数的概念、图象、性质；第二、三课时为指数函数性质的应用，本课为第一课时，需要40分钟.它在教材中起到了承上启下的作用，在指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣.此外，这部分知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义.二、教学目标分析1.知识与技能（1）掌握指数函数的概念.（2）掌握指数函数的图象和性质.（3）能初步利用指数函数的概念解决实际问题.2.过程与方法通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法.3.情感与价值观（1）体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题.（2）通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，增强识图用图的能力.（3）让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步中的重要作用.三、学习者特征分析本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的：1．学生是西安市长安区第一中学高一年级的学生.2．学生在初中已经学习了一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数这些基本初等函数，对函数有一定的认识和理解.3．学生在前几节课又学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助.4．学生对函数有了一定的理解，已经初步掌握了用函数的观点来分析问题和解决问题，然而本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求. 四、教学策略选择与设计1．以问题解决为主的教学策略：依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题.2．自主学习策略：在教学过程中适当的点拨，引导学生主动参与，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受.3．情境迁移策略：通过设计问题串，把指数函数的知识与我们的日常生产、生活和科学研究紧密的联系起来，主要体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面.五、教学资源与工具设计1.教学环境：多媒体大屏幕环境.2.资源准备：教师自制的PPT课件.六、教学过程（一）创设情境，形成概念师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米……按这样的规律，51号同学该准备多少米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重.师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米……按这样的规律，51号同学该准备多少米？【学情预设：学生可能说很多或能算出具体数目】师：大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨.师：1.2亿吨是一个什么概念？根据20XX 年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～20XX 年度我国大米产量预计为1.27亿吨.这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～20XX 年度我国全年的大米产量！【设计意图：用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望】在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y 表示，每位同学的座号数用x 表示，则y 与x 之间的关系是什么？学生很容易得出y =2x （∈x *N ）和x y 2=（∈x *N ）.【学情预设：学生可能会漏掉x 的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x 的范围】 （1）让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：①x y 2=（∈x *N ）和x y 85.0=（∈x *N ）这两个解析式有什么共同特征？ ②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型.学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现x y 2=是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣】引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量.师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成x a y =的形式.自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数.（2）让学生讨论并给出指数函数的定义. 对于底数的分类，可将问题分解为： ①若0<a 会有什么问题？（如2-=a ，21=x ，则在实数范围内相应的函数值不存在） ②若会有什么问题？（对于0≤x ，x a 都无意义） ③若又会怎么样？（，无论取何值,它总是1,对它没有研究的必要）师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定.10≠>a a 且【学情预设：①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求10≠>a a 且；1=a 为什么不行？②若学生只给出x a y =，教师可以引导学生通过类比一次函数（0,≠+=k b kx y ）、反比例函数（0,≠=k x ky ）、二次函数（0,2≠++=a c bx ax y ）中的限制条件， 思考指数函数中底数的限制条件】【设计意图 ：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；②讨论出10≠>a a 且，也为下面研究性质时对底数的分类做准备】接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如x y 32⨯=，x y 23=，x y 2-=.【学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的】 【设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解】 （二）发现问题，探求新知 教师提出以下三个问题： （1）怎样得到指数函数的图象？【设计意图：让学生再现函数图象的研究方法】 学生分成四个小组，分别完成，，，的图象.【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导】 学生用描点法将图象画出后,师：下面我们开一个成果展示会!教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果.教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析.【设计意图：让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养】教师通过多媒体将这四个图象给予展示. 【设计意图 ：这样做是照顾到全体学生】 （2）通过图象，你能发现指数函数的哪些性质？师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0，1）；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义域、值域.师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外，注意是否还有其他性质？（如过定点（0，1），xa y =与xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1的图象关于y 轴对称）师生共同总结指数函数的图象和性质，我将给出表格，引导学生根据图象填写.图象定义域R 值域性质过定点（0，1）非奇非偶在R上是减函数在R上是增函数【设计意图：表格的完成将会使学生体会到很大的成功感，也将学生思考的热情带入高峰，让学生充分感受以图象为基础研究函数的性质这一重要的数学思想】（三）深入探究，加深理解教师组织学生讨论，并引导学生观察图象的特点，得出a>1和0<a<1这两种情况在图象上的特点.教师通过“几何画板”中改变参数a的值，追踪x ay 的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律.【学情预设：学生可能从不同的视角观察图象，从而得出自己发现的规律，但此时教师并不急于给出结论，而是让学生充分经历知识的形成过程，从而形成自己对本节课难点的理解和解决策略，培养学生的直觉和感悟能力.让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化】【设计意图：在此环节中，学生对具体的函数进行观察归纳，通过自主探索、合作学习，加之多媒体的动态演示，将具体化为抽象，并感受了对底的分类讨论的思维方式】（四）当堂训练，巩固双基例1．比较下列各题中两个数的大小：（1） 30.8，30.7; （2） 0.75-2.8 , 0.750.1——同底指数幂比较大小【设计意图：同底数幂比较大小，构造指数函数，利用指数函数单调性】（3）与；（4）与——不同底但可化同底（5）(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 ——底不同但同指数0<a<1a>1【设计意图：不同底数幂比较大小，利用图象与底之间的关系，结合函数图象进行比较】 （6）1.70.3,0.93.1 ——底不同，指数也不同 【设计意图：利用函数图象或中间变量进行比较】 例2．已知下列不等式, 比较m 和n 的大小. (l) ； (2)； (3)（且）.【设计意图：本例题旨在对知识的逆用，建立学生的函数思想及分类讨论思想】例3.求满足下列条件的x 取值范围： ① 23x+1 >23-2x ；②4x >32.思考交流：比较a 2x2+1与a x2+2 （a >0且a ≠1）的大小. 【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解】师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？生：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即列一个方程就可以了.【设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想】 （五）反思归纳，拓展深化在小结归纳中我将从学生的知识，方法和体验入手，带领学生从以下三个方面进行小结： （1）通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？ （2）你又掌握了哪些学习方法？（3）你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗？【学情预设：学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数】【设计意图：①总结本节课中所用到的数学思想方法；②强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通】 (六)布置作业，提高升华1．函数y =a 2x-3+3恒过定点.2．作出函数12x y -=和21x y =+的图象，并说明 这两个函数图象与2x y =图象的关系.3．如图，是指数函数①x=，y c=，③xy a=，②xy b④x=的图象，则a,b,c,d的大小关系是（）.y dA．1<<<<b a d c<<<< B．1a b c dC．1a b c da b d c<<<<<<<< D．14.党的十六大提出了再经过20年实现国民经济总产值再翻两番,实现小康社会.2000年我国GDP人均800美元,过去的五年里我国经济发展速度每年平均递增约8%,那么从2000年起再过x年我国GDP人均年为y 美元,写出y关于x的函数关系式.按照这个速度到2020年能否实现翻两番? （可以写一篇数学日记）【设计意图：让学生熟练地应用指数函数的概念、图象和性质解决问题,并能将其方法迁移到其他函数的研究中去】七、教学评价设计本节课体现素质教育要求，把评价的侧重点放在学生的学习活动上，围绕学生主动学习来评价；充分利用现代教育技术，使评价具有客观性和可操作性，便于掌握和应用.评价分为两部分：1.定量评价评价总分=学生课堂表现评价表得分（10）+课堂学习成果评价表得分（30）+小组协作互助表得分（10）+小组成果汇报表得分（20）+研究性学习活动评价表得分（20）+学习感受得分（10）.2.定性评价一系列的定性评价和为促进学生发展的改进意见等等.1.学生课堂学习评价量表表一：学生课堂表现评价量表（10分）注：1.本评价表针对学生课堂表现情况作评价.2.本评价分为定性评价部分和定量评价部分.3.定量评价部分总分为100分，最后取值为教师评、同学评和自评分数按比例取均值；4.定性评价部分分为“我这样评价自己”“伙伴眼里的我”和“老师的话”，都是针对被评者作概括性描述和建议，以帮助被评学生的改进与提高.表二：课堂学习成果评价量表（30分）注：1.得分为自评、互评、教师评总分之均值；2.“我这样评价我自己”“伙伴眼里的我”以及“老师的话”都是针对课堂学习情况的概括性评判和描述.2.课堂小组协作学习评价系列表 表三：小组协作互评表（10分）表四：小组成果汇报评价表（折合成20分）注：1.本表针对该生所在小组作评价，对该生的评价还需要在小组内进行分配.对于每个小组都有N张这种评价表，取所有评价表的均值作为对该小组的评价得分.2.本表分为定量和定性评价两部分.3.本定量评价表满分为100分，在加入总分时需进行折合.4.定性评价部分，听完汇报后我的问题是评价者在听取他组汇报时所想到的问题，评价意见是对被评小组的优点及需要改进之处作评价，以作该小组改进之用.3. 研究性学习活动评价量表表五：研究性学习活动评价量表（20分）注：1.本评价表针对研究性学习活动作评价.2.本评价仅作定性评价，被评者、同学及教师分别就各项的评价标准将各项评价意见填写在相应评价栏.3.“我的反思”是被评者在自评、他评和教师评完之后针对大家的意见作反思，填写反思记录.4.学习感受（10分）上完本次课，你有什么感受？收获了哪些？你觉得自己还可以做那些改进？比如在小组合作方面，比如在课堂参与方面，比如在练习方面……？[教师根据学生反思深度给分]八、帮助和总结本节课选取的内容是指数函数，它既是函数的深化，又是学习对数函数的必备，通过本节内容的学习，让学生在掌握知识的同时感受到数学的实用价值.1.学生可能把自变量在指数上的函数都认为是指数函数，应予以及时纠正.2.若学生质疑指数函数单调性结论的正确性，应先肯定质疑是正确的，因为用图象观察归纳出来的结论，必须经过严格证明才是可靠的！但由于教材对此不作要求，因此，鼓励学有余力的同学可自己尝试证明.3.个别学生在探究指数函数图象与a 的关系和做课堂练习时可能存在一定困难，教师要巡回指导.本节课的教学设计体现了“以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育理念.在教学的每一个环节中均设计了问题，始终以教师提出问题，引导学生解决问题的方式进行.教学过程中的六个环节环环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动手操作，动眼观察，动脑思考，层层递进，学生亲身经历了知识的形成和发展过程，以问题为驱动，使学生对知识的理解逐步深入.课堂教学中的例题、习题和课后作业具有代表性、实用性和可操作性，均围绕着教学的重点、难点选取，选取题目数字简单，易于操作，注重知识的运用.选题时注重知识的延续性，为以后的学习奠定了基础，同时考虑到了学生学习过程中可能出现的各种错误，预先准备好了解决的方案.而最终的思考题又将激发学生兴趣，带领学生进入对指数函数更进一步的思考和研究之中，从而达到知识在课堂以外的延伸.附录：阅读资料（一）考古中的指数函数14C 是具有放射性的碳同位素，能够自发地进行β衰变，变成氮，半衰期为5730年，活的植物通过光合作用和呼吸作用与环境交换碳元素，体内14C 的比例与大气中的相同.植物枯死后，遗体内的14C 仍在进行衰变，不断减少，但是不再得到补充.因此，根据放射性强度减小的情况就可以算出植物死亡的时间.测年方法进入考古学研究被誉为考古学发展史上的一次革命，它将考古学研究中得到的相对年代转变为绝对年代，给考古学带来了质的飞跃，使研究更加科学化，促进了考古学研究的深入.其中测算公式是一个指数式57301()2xy =.（二）音乐中的指数函数钢琴是一种用琴槌击弦而振动发声键盘乐器.从左往右逐个试弹所有琴键，我们听到琴声逐渐由低到高，这是因为琴声的高低与琴弦振动的频率有关，而琴弦振动的频率又与琴弦的长度有关.粗略地说，琴弦长则振动慢，频率小，故发出的声音低；琴弦短，则振动快，频率大，故发出的声音高.音域宽度自大字二组的A 2至小字五组的5c .根据“十二平均律”的法则，任何两个相邻的键所发出的音相差半音阶（100音分），它们的振动频率之比是一个常数Q ，设最低的第一个音A 2的频率是a ，则第二个音#A 2的频率是aQ ，第三个音B 2的频率是aQ 2，……另外，音高每提高八度（如A 2到A 1）频率增大为原来的2倍，而八度音域内包含12个半音（连续的7个白键和5个黑键），所以，第十三个音（A 1）的频率是第一个音（A 2）的频率的2倍.故122aQ a =⨯，即122Q =.另一方面，弦振动的频率与弦长成反比.所以，从左向右，相邻两弦的长度之比是常数q =1/Q ，从而有q 12=1/2.设左边第一根弦的长度为l ，则第二根弦的长度为l q ⋅，第三根弦的长度为2l q ⋅，……如图，取第一根弦所在直线为y 轴，各弦靠近键盘的端点所在直线为x 轴建立坐标系，相邻两弦间的距离为长度单位.这时，将弦的另一端点（上部）连成光滑曲线，那么曲线上任意点的坐标(,)x y 都满足函数关系x y lq =.若令log q c l =，则x y l q =⋅，可化为x c y q +=.经过适当平移，就可知道光滑曲线是指数函数x y q =的图象——指数曲线.生活中到处都有数学，我们要学会用数学的眼光观察世界，用数学发现自然界的奥秘.。