第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用学习目标 1.理解等比数列前n 项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.知识点一 等比数列前n 项和公式的函数特征 当公比q ≠1时，设A ＝a 1q －1，等比数列的前n 项和公式是S n ＝A (q n －1)．即S n 是n 的指数型函数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数． 知识点二 等比数列前n 项和的性质 等比数列{a n }前n 项和的三个常用性质(1)若数列{a n }为公比不为－1的等比数列，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …仍构成等比数列．(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m (n ，m ∈N ＋)．(3)若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶S 奇＝q ；②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q(q ≠－1)．1．等比数列{a n }的前n 项和S n 不可能等于2n .( √ ) 2．若{a n }的公比为q ，则{a 2n }的公比为q 2.( √ )3．若{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5的公比也为q .( √ ) 4．等比数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n .则{S n }也是递增数列．( × )题型一 等比数列前n 项和公式的函数特征应用例1 数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2(n ∈N ＋)．求{a n }的通项公式．解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n -1－2)＝2·3n -1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n -1，n ≥2，n ∈N ＋.反思感悟 (1)已知S n ，通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列． 跟踪训练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n -1＋t ，则t ＝________. 答案 －13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)， 又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.题型二 等比数列前n 项和的性质命题角度1 连续n 项之和问题例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n＋S 3n )．证明 方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．当q ≠1时，S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n ＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2] ＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )．又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2(1－q n )(2－q 2n －q 3n )＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二 根据等比数列的性质有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )， S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )．∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．反思感悟 处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48，a 1(1－q2n)1－q＝60，①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 命题角度2 不连续n 项之和问题例3 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．解 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇，S 偶，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶， ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，得a 1＝12. 故所求通项公式为a n ＝12×⎝⎛⎭⎫13n -1，n ∈N ＋.反思感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快．跟踪训练3 设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则1236a a a a b b b b ⋯＋＋＋＋＝________. 答案 126 解析 ∵11111112n n n n n na a a a a ab b q q b b q+++---⋅===⋅， ∴{n a b }是首项为b 2，公比为2的等比数列．∴1236a a a a b b b b ⋯＋＋＋＋＝b 2(1－26)1－2＝126.等比数列前n 项和的分类表示典例 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝3a n ，n ∈N ＋.求{a n }的前n 项和S n .解 由a n ≠0，所以a n ＋2a n ＝3，于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列． 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n -1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n -1)＋2(1＋3＋…＋3n -1)＝3(1＋3＋…＋3n -1)＝3(3n －1)2，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．综上所述，S n ＝3223(531),23(31),2n nn n -⎧⨯-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩是奇数，是偶数.[素养评析] 数学中有不少概念表达式相当抽象．只有在明晰运算对象的基础上，才能挖掘出两式的内在联系，理解运算法则．本例中，涉及到很多对n 的赋值，只有理解了a n ，a 2n ，S 2n 与S 2n －1之间的联系，才能顺利挖掘出{a 2n }是首项为2，公比为3的等比数列，S 2n －1＝S 2n －a 2n 等关系.1．已知等比数列{a n }的公比为2，且其前5项和为1，那么{a n }的前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35 D ．37答案 B解析 设{a n }的公比为q ，由题意，q ＝2，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝q 5(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 5＝25＝32，∴S 10＝1＋32＝33.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( )A.13 B ．－13C.12 D ．－12答案 C解析 方法一 ∵S n ＝x ·3n -1－16＝x 3·3n －16，由S n ＝A (q n －1)，得x 3＝16，∴x ＝12，故选C.方法二 当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2x ·3n -2，∵{a n }是等比数列，∴n ＝1时也应适合a n ＝2x ·3n -2， 即2x ·3-1＝x －16，解得x ＝12.3．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝3n ＋d ，则向量a ＝(c ，d )的模为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．无法确定答案 A解析 由等差数列与等比数列的前n 项和公式知，c ＝0，d ＝－1，所以向量a ＝(c ，d )的模为1. 4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若q ＝2，S 100＝36，则a 1＋a 3＋…＋a 99等于( ) A ．24 B ．12 C ．18 D ．22 答案 B解析 设a 1＋a 3＋…＋a 99＝S ，则a 2＋a 4＋…＋a 100＝2S .∵S 100＝36，∴3S ＝36，∴S ＝12，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12.5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝3，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12等于( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 答案 C解析 S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列． 即1,2，a 9＋a 10＋a 11＋a 12成等比数列． ∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝4.1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列． 2．等比数列前n 项和中用到的数学思想 (1)分类讨论思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n -1＝a 1q ·q n(q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)与指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q 当成整体求解；把奇数项、偶数项、连续若干项之和等整体处理．一、选择题1．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 C解析 ∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2， ∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3，即a 4＝4a 3， ∴q ＝a 4a 3＝4.2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．－1 答案 A解析 ∵S n －S n －1＝a n (n ≥2且n ∈N ＋)，又{S n }是等差数列， ∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列， ∴q ＝a na n －1＝1(n ≥2且n ∈N ＋)．3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D.558 答案 A解析 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12 B ．2 C.1716 D ．17 答案 C解析a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12. ∴S 8S 4＝S 4＋(S 8－S 4)S 4＝1＋S 8－S 4S 4＝1＋q 4＝1716. 5．正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30 答案 C解析 由S 30＝13S 10，知q ≠1，由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130，由等比数列的前n 项和的性质得S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，则(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(130－S 20)，解得S 20＝40或S 20＝－30(舍去)，故选C.6．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N ＋，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3 答案 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q＝q m ＋1＝9，∴q m＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.7．已知等比数列{a n }的前10项中，所有奇数项之和为8514，所有偶数项之和为17012，则S＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12的值为( ) A ．580 B ．585 C ．590 D ．595 答案 B解析 设等比数列{a n}的公比为q ，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧S偶S奇＝q ＝2，S奇＝a 1[1－(q 2)5]1－q2＝8514，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，∴S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12＝a 3(1＋q 3＋q 6＋q 9)＝a 1q 2·1－q 121－q 3＝585.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( )A ．2 B.73 C.83 D ．3答案 B解析 由题意知q ≠1，否则S 6S 3＝6a 13a 1＝2≠3.∴S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q ＝1＋q 3＝3， ∴q 3＝2.∴S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q a 1(1－q 6)1－q ＝1－q 91－q 6＝1－231－22＝73. 二、填空题9．若等比数列{a n }的前5项和S 5＝10，前10项和S 10＝50，则它的前15项和S 15＝________. 答案 210解析 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5， S 15－S 10成等比数列，故(S 10－S 5)2＝S 5(S 15－S 10)， 即(50－10)2＝10(S 15－50)，解得S 15＝210.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，若对任意n ∈N ＋，有a n ＋1＝13S n ，则S n ＝________.答案 ⎝⎛⎭⎫43n -1解析 由a n ＋1＝13S n ，得S n ＋1－S n ＝13S n ，即S n ＋1＝43S n ，则数列{S n }是以S 1＝1为首项，公比q为43的等比数列，所以S n ＝S 1·q n -1＝⎝⎛⎭⎫43n -1. 11．已知首项为1的等比数列{a n }是摆动数列，S n 是{a n }的前n 项和，且S 4S 2＝5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________． 答案1116解析 S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝5，q ＝±2.∵{a n }是摆动数列，∴q ＝－2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的首项为1，公比为－12，前5项和为1·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1251－⎝⎛⎭⎫－12＝1＋13232＝1116.三、解答题12．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解 (1)设等差数列{a n }公差为d ，因为a 2＋a 4＝2a 3＝10，所以a 3＝5＝1＋2d ，所以d ＝2，所以a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)设{b n }的公比为q ，b 2·b 4＝a 5⇒q ·q 3＝9，所以q 2＝3，所以{b 2n －1}是以b 1＝1为首项，q ′＝q 2＝3为公比的等比数列，所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1·(1－3n )1－3＝3n －12.13．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ， 由题意知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， ∴q 3－2q 2＋q －2＝0， 即(q －2)(q 2＋1)＝0.∴q ＝2，即a n ＝2·2n -1＝2n ，n ∈N ＋. (2)由题意得，b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n +1， ②①－②，得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n +1 ＝－2－(n －1)·2n +1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n +1，n ∈N ＋.14．等比数列{a n }中，a 1－a 3＝3，前n 项和为S n ，S 1，S 3，S 2成等差数列，则S n 的最大值为________． 答案 4解析 设公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a 3＝a 1－a 1q 2＝3，S 3－S 1＝a 2＋a 3＝S 2－S 3＝－a 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝－12.当n 为奇数时，S n ＝83⎝⎛⎭⎫1＋12n ≤83⎝⎛⎭⎫1＋12＝4， 当n 为偶数时，S n ＝83⎝⎛⎭⎫1－12n <83. 综上，S n 的最大值为4.15．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)设数列{S n }的前n 项和为T n ，求T n .(1)证明 当n ＝1时，S 1－2S 1＝1－4，故S 1＝3， 得S 1－1＋2＝4.n ≥2时原式转化为S n ＝2(S n －S n －1)＋n －4， 即S n ＝2S n －1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知，S n －n ＋2＝2n +1，所以S n ＝2n +1＋n －2， 于是T n ＝(22＋23＋…＋2n +1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n +3＋n 2－3n －82.。