三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），
b
4ac − b2
即当 x = − 2a 时， y最值 = 4a 。
b 如果自变量的取值范围是 x1 ≤ x ≤ x2 ，那么，首先要看 − 2a 是否在自变量取值范围
x1
≤ x ≤ x2 内，若在此范围内，则当
四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
、 、 2、二次函数 y = ax2 + bx + c(a,b, c是常数，a ≠ 0) 中， a b c 的含义：
a 表示开口方向： a >0 时，抛物线开口向上, a <0 时，抛物线开口向下 b 与对称轴有关：对称轴为 x= − b
2a c 表示抛物线与 y 轴的交点坐标：（0， c ）
考点:二次函数的性质. 【点睛】根据二次函数的性质解决即可． 【举一反三】
3 / 19
（2016
广东广州第
9
题）对于二次函数
y
=
−
1
2
x
+
x
−
4 ,下列说法正确的是（
）
4
A、当 x>0，y 随 x 的增大而增大
B、当 x=2 时，y 有最大值－3
C、图像的顶点坐标为（－2，－7） D、图像与 x 轴有两个交点
中考数学考点知识与题型专题讲解
聚焦考点☆温习理解
专题 24 二次函数
一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果 y = ax2 + bx + c(a,b, c是常数，a ≠ 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数。 y = ax2 + bx + c(a,b, c是常数，a ≠ 0) 叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于 x = − b 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用
在 y 轴上：
．
【答案】 y = x2 （答案不唯一）．
【解析】 试题分析：由题意可得： y = x2 （答案不唯一）．故答案为： y = x2 （答案不唯一，只 要 y = ax2 + bx + c 中 a≠0，b=0 即可）．
考点：二次函数的性质；开放型．
考点典例三、二次函数的最值
2
【例 3 】（2016 黑龙江哈尔滨第 16 题）二次函 数 y=2（ x﹣ 3 ） ﹣ 4 的最 小值
【答案】B.
【解析】
试题分析：二次函数
y
=
−
1
2
xHale Waihona Puke +x−
4
=
−
1
(x
− 2)2
−
3,所以二次函数的开口向下，当
x
4
4
＜2，y 随 x 的增大而增大，选项 A 错误；当 x=2 时，取得最大值，最大值为－3,选项
B 正确；顶点坐标为（2，-3），选项 C 错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可
得抛物线与 x 轴没有交点，选项 D 错误，故答案选 B.
考点：二次函数的性质.
考点典例二、二次函数的解析式
2
【例 2】如图，二次函数 y=x +bx+c 的图象过点 B（0，﹣2）．它与反比例函数 y=﹣ 的
图象交于点 A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
2
2
A．y=x ﹣x﹣2 B．y=x ﹣x+2
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（3）当抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程 ax 2 + bx + c = 0 有实根 x1 和 x2 存在时，根据二次三项式的分解因式 ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) ，二 次函数 y = ax 2 + bx + c 可转化为两根式 y = a(x − x1 )(x − x2 ) 。如果没有交点，则不能这 样表示。
【答案】A．
【解析】
2
C．y=x +x﹣2
2
D．y=x +x+2
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故选 A．
【点晴】先根据 A 在反比例函数图象上，求出 m 的值，再把 A、B 点坐标代入二次函数
2
y=x +bx+c 中，求出 b、c 的值即可.
【举一反三】
（2016 福建南平第 14 题）写出一个 y 关于 x 的二次函数的解析式，且它的图象的顶点
虚线画出对称轴 （2）求抛物线 y = ax2 + bx + c 与坐标轴的交点： 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再
找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就 得到二次函数的图像。 二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式： y = ax2 + bx + c(a,b, c是常数，a ≠ 0) （2）顶点式： y = a(x − h)2 + k(a, h, k是常数，a ≠ 0)
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。
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因此一元二次方程中的 ∆ = b2 − 4ac ，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。 当 ∆ >0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 ∆ =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 ∆ <0 时， 图像与 x 轴没有交点。 名师点睛☆典例分类 考点典例一、二次函数的图象 【例 1】（2016 浙江宁波第 11 题）已知函数 y = ax 2 − 2ax −1（ a 是常数，a ≠0），下列 结论正确的是 A. 当 a = 1 时，函数图象过点（-1，1） B. 当 a = −2 时，函数图象与 x 轴没有交点 C. 若 a > 0 ，则当 x ≥ 1时， y 随 x 的增大而减小 D. 若 a < 0 ，则当 x ≤ 1时， y 随 x 的增大而增大 【答案】D. 【解析】
x=
−
b 2a
时，
y最值
=
4ac − b2 4a
；若不在此范围内，
则需要考虑函数在 x1 ≤ x ≤ x2 范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，
则当 x = x2 时， y最大 = ax22 + bx2 + c ，当 x = x1 时， y最小 = ax12 + bx1 + c ；如果在此范围 内 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 则 当 x = x1 时 ， y最大 = ax12 + bx1 + c ， 当 x = x2 时 ， y最小 = ax22 + bx2 + c 。