1、二次函数的定义定义： y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式练习：1、y=-x2，y=2x2-2/x ，y=100-5 x2，y=3 x2-2x3+5,其中是二次函数的有____个。

2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？2、二次函数的图像及性质例2：已知二次函数（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。

（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax 2+bx+c (a<0)由a,b 和c 的符号确定由a,b 和c 的符号确定 a>0,开口向上a<0,开口向下在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=直线abx 2-=直线23212-+=x x y（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？3、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-h)2+k(a≠0)3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1) ；(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。

例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。

求a、b、c。

解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时，x=1∴顶点坐标为（ 1 ， 2）∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6）∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即： y=-2x2+4x4、a，b，c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.（3）b的符号：由对称轴的位置确定（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y 值决定。

当x=1时，y>0,则a+b+c>0当x=1时，y<0，则a+b+c<0当x=1时，y=0，则a+b+c=0(6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。

当x=-1，y>0,则a-b+c>0当x=-1，y<0,则a-b+c<0当x=-1，y=0,则a-b+c=0练习１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）A、a<0,b>0,c>0B、a<0,b>0,c<0C、a<0,b<0,c>0D、a<0,b<0,c<02、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）A、a>0,b>0,c=0B、a<0,b>0,c=0C、a<0,b<0,c<0D、a>0,b<0,c=03、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c 、△的符号为（）A、a>0,b=0,c>0,△>0B、a<0,b>0,c<0,△=0C、a>0,b=0,c<0,△>0D、a<0,b=0,c<0,△<0熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0.5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足的条件是：a 0,b 0,c 0.6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数图象的顶点必在第象限先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。

⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是（）A 1个B 2个C 3个D 4个要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x 轴、y 轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。

5、抛物线的平移左加右减，上加下减 练习⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。

⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。

引申：（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.y=x2-5x+66二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与b2-4ac 的关系我们知道:代数式b2-4ac 对于方程的根起着关键的作用.二次函数y=ax2＋bx ＋c 的图象和x 轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程ax2＋bx ＋c=0的解。

二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: (1)有两个交点b2 – 4ac > 0 (2)有一个交点b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0y=x 4125(2--=x y .2422,1aacb b x -±-=∴若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2 – 4ac≥0例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿.(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.7二次函数的综合运用1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:?抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同? a=1或-1又?顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5, ? 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为:(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.2.若a+b+c=0,a ?0,把抛物线y=ax2+bx+c 向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式. 分析:(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0) (2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线练习题1．直线y ＝3 x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限，则k 的范围是………………（ ）（A ）k ＜31 （B ）31＜k ＜1 （C ）k ＞1 （D ）k ＞1或k ＜1 【提示】由⎩⎨⎧-=-=k x y x y 13，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.23121k y k x 因点在第四象限，故21k -＞0，231k -＜0．∴ 31＜k ＜1．【答案】B ．【点评】本题应用了两函数图象交点坐标的求法，结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是…………（ ）（1）abc ＜0； （2）a ＋b ＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ； （4）a ＜－2b ． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【提示】由图象知a ＜0，－ab2＞0，故b ＞0，而c ＞0，则abc ＜0．当x ＝1时，y ＞0，即a ＋c －b ＞0；当x ＝－1时，y ＜0，即a ＋c －b ＜0． 【答案】B ．【点评】本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系．因a ＜0，把（4）a ＜－2b两边同除以a ，得1＞－a b 2，即－a b 2＜1，所以（4）是正确的；也可以根据对称轴在x ＝1的左侧，判断出－ab 2＜1，两边同时乘a ，得a ＜－2b，知（4）是正确的．3．若一元二次方程x 2－2 x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝（m ＋1）x ＋m －1的图象不经过…………………………………………………………………………………（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【提示】由??＝4＋4 m ＜0，得m ＋1＜0，则m －1＜0，直线过第二、三、四象限． 【答案】A ．【点评】本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质．注意，题中问的是一次函数图象不经过的象限．4．如图，已知A ，B 是反比例函数y ＝x2的图象上两点，设矩形APOQ 与矩形MONB 的面积为S 1，S 2，则………………………………………………………………（ ） （A ）S 1＝S 2 （B ）S 1＞S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）上述（A ）、（B ）、（C ）都可能 【提示】因为S APOQ ＝|k |＝2，S MONB ＝2，故S 1＝S 2． 【答案】A ．【点评】本题可以推广为：从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线，由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k |．5．若点A （1，y 1），B （2，y 2），C （?，y 3）在反比例函数y ＝－xk 12＋的图象上，则（ ）（A ）y 1＝y 2＝y 3 （B ）y 1＜y 2＜y 3 （C ）y 1＞y 2＞y 3 （D ）y 1＞y 3＞y 2【提示】因－（k 2＋1）＜0，且－（k 2＋1）＝y 1＝2 y 2＝??y 3，故y 1＜y 2＜y 3．或用图象法求解，因－（k 2＋1）＜0，且x 都大于0，取第四象限的一个分支，找到在y 轴负半轴上y 1，y 2，y 3 的相应位置即可判定． 【答案】B ．【点评】本题是反比例函数图象的性质的应用，图象法是最常用的方法．在分析时应注意本题中的－（k 2＋1）＜0．6．直线y ＝ax ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系内大致的图象是……（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【提示】两个解析式的常数项都为c ，表明图象交于y 轴上的同一点，排除（A ），（B ）．再从a 的大小去判断． 【答案】D ．【点评】本题综合运用了一次函数、二次函数的性质．（B ）错误的原因是由抛物线开口向上，知a ＞0，此时直线必过第一、三象限．7．已知函数y ＝x 2－1840 x ＋1997与x 轴的交点是（m ，0）（n ，0），则（m 2－1841 m ＋1997）（n 2－1841 n ＋1997）的值是……………………………………………（ ）（A ）1997 （B ）1840 （C ）1984 （D ）1897【提示】抛物线与x 轴交于（m ，0）（n ，0），则m ，n 是一元二次方程x 2－1840 x ＋1997＝0的两个根．所以m2－1840 m ＋1997＝0，n 2－1840 n ＋1997＝0，mn ＝1997．原式＝［（m 2－1840 m ＋1997）－m ］［（n 2－1840 n ＋1997）－n ］＝mn ＝1997． 【答案】A ．【点评】本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点，并要灵活地把所求代数式进行适当的变形．8．某乡的粮食总产量为a （a 为常数）吨，设这个乡平均每人占有粮食为y （吨），人口数为x ，则y 与x 之间的函数关系为……………………………………………（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【提示】粮食总产量一定，则人均占有粮食与人口数成反比，即y ＝xa．又因为人口数不为负数，故图象只能是第一象限内的一个分支． 【答案】D ．【点评】本题考查反比例函数图象在实际问题中的应用．（A ）错在画出了x ＜0时的图象，而本题中x 不可能小于0．（二）填空题（每小题4分，共32分）9．函数y ＝12-x ＋11-x 的自变量x 的取值范围是____________． 【提示】由2 x －1≥0，得x ≥21；又x －1≠0，x ≠1．综合可确定x 的取值范围．【答案】x ≥21，且x ≠1．10．若点P （a －b ，a ）位于第二象限，那么点Q （a ＋3，ab ）位于第_______象限． 【提示】由题意得a ＞0，a －b ＜0，则b ＞0．故a ＋3＞0，ab ＞0． 【答案】一．11．正比例函数y ＝k （k ＋1）12--k k x 的图象过第________象限．【提示】由题意得k 2－k －1＝1，解得k 1＝2，k 2＝－1（舍去），则函数为y ＝6 x ． 【答案】一、三．【点评】注意求出的k ＝－1使比例系数为0，应舍去．12．已知函数y ＝x 2－（2m ＋4）x ＋m 2－10与x 轴的两个交点间的距离为22，则m ＝___________．【提示】抛物线与x 轴两交点间距离可应用公式||a ∆来求．本题有∆＝)10(4)42(22--+m m ＝5616+m ＝22，故m ＝－3． 【答案】－3．【点评】抛物线与x 轴两交点间距离的公式为||a ∆，它有着广泛的应用．13．反比例函数y ＝xk的图象过点P （m ，n ），其中m ，n 是一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两个根，那么P 点坐标是_____________．【提示】P （m ，n ）在双曲线上，则k ＝xy ＝mn ，又mn ＝4，故k ＝4． 【答案】（－2，－2）．【点评】本题是反比例函数、一元二次方程知识的综合应用．由题意得出k ＝mn ＝4是关键．14．若一次函数y ＝kx ＋b 的自变量x 的取值范围是－2≤x ≤6，相应函数值y 的范围是－11≤y ≤9，则函数解析式是___________．【提示】当k ＞0时，有⎩⎨⎧+=+-=-b k b k 69211，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.625b k当k ＜0时，有⎩⎨⎧+-=+=-b k b k 29611，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.425b k【答案】y ＝25x －6或y ＝－25x ＋4．【点评】因k 是待定字母，而k 的不同取值，导致线段分布象限不一样，自变量的取值与函数取值的对应关系也就不同．故本例要分k ＞0时自变量最大值对应函数最大值，与k ＜0时自变量最大值对应函数最小值两种情形讨论．15．公民的月收入超过800元时，超过部分须依法缴纳个人收入调节税，当超过部分不足500元时，税率（即所纳税款占超过部分的百分数）相同．某人本月收入1260元，纳税23元，由此可得所纳税款y （元）与此人月收入x （元）(800＜x ＜1300)间的函数关系为____________． 【提示】因1260－800＝460，46023＝5%，故在800＜x ＜1300时的税率为5%． 【答案】y ＝5%（x －800）．【点评】本题是与实际问题相关的函数关系式，解题时应注意并不是每个人月收入的全部都必须纳税，而是超过800元的部分才纳税，故列函数式时月收入x 须减去800．16．某种火箭的飞机高度h （米）与发射后飞行的时间t （秒）之间的函数关系式是h ＝－10 t 2＋20 t ，经过_________秒，火箭发射后又回到地面．【提示】火箭返回地面，即指飞行高度为0，则－10 t 2＋20 t ＝0，故t ＝0或t ＝20． 【答案】20．【点评】注意：t ＝0应舍去的原因是此时火箭虽在地面，但未发射，而不是返回地面． （三）解答题17．（6分）已知y ＝y 1＋y 2，y 1 与x 成正比例，y 2 与x 成反比例，并且x ＝1时y ＝4，x ＝2时y ＝5，求当x ＝4时y 的值．【解】设y 1＝k 1x ，y 2＝xk 2，则y ＝k 1x ＋xk 2．把x ＝1时y ＝4，x ＝2时y ＝5分别代入上式，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22542121k k k k ，解得∴ 函数解析式为y ＝2 x ＋x 2． 当x ＝4时，y ＝2×4＋42＝217．∴ 所求的y 值为217．【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式．关键在于正确设出y 1，y 2 与x 的函数解析式．注意两个比例系数应分别用k 1，k 2 表示出来，而不能仅用一个k 值表示．18．（6分）若函数y ＝kx 2＋2（k ＋1）x ＋k －1与x 轴只有一个交点，求k 的值． 【提示】本题要分k ＝0，k ≠0两种情况讨论．【解】当k ＝0时，y ＝2 x －1，是一次函数，此时，直线与x 轴必有一个交点．当k ≠0时，函数为二次函数，此时，??＝4（k ＋1）2－4 k （k －1）＝12 k ＋4＝0．∴ k ＝－31． ∴ 所求的k 值为0或－31． 【点评】注意，当问题中未指明函数形式，而最高次项系数含字母时，要注意这个系数是否为0．函数图象与x 轴有一个交点包括两种情形：当函数是一次函数时，直线与x 轴必只有一个交点；当函数是二次函数时，在??＝0的条件下，图象与x 轴只有一个交点．19．（8分）已知正比例函数y ＝4 x ，反比例函数y ＝xk．（1）当k 为何值时，这两个函数的图象有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图象没有交点？（2）这两个函数的图象能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由． 【解】由y ＝4 x 和y ＝xk，得 4 x 2－k ＝0，??＝16 k ．（1）当??＞0，即k ＞0时，两函数图象有两个交点；当??＜0，即k ＜0时，两函数图象没有交点；（2）∵ 比例系数k ≠0，故??≠0．∴ 两函数图象不可能只有一个交点．20．（8分）如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的D ′GD 部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8米，AD 和AD ′是两侧高为5.5米的立柱，OA 和OA ′为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和CD ′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4．（1）求桥拱DGD ′所在抛物线的解析式及CC ′的长．（2）BE 和B ′E ′为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ′B ′为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ′B ′的宽．（3）按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不可小于0.4米，今有一大型运货汽车，装载上大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离为7米，它能否从OA （OA ′）安全通过？请说明理由．【分析】欲求函数的解析式，关键是求出三个独立的点的坐标，然后由待定系数法求之．所以关键是由题中线段的长度计算出D 、G 、D ′的坐标，当然也可由对称轴x ＝0解之．至于求CC ′、AB 、A ′B ′的数值，则关键是由坡度的定义求解之；到底能否安全通过，则只需在抛物线的解析式中令x ＝4，求出相应的y 值，即可作出明确的判断．【解】（1）由题意和抛物线的对称轴是x ＝0，可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ．由题意得G （0，8），D （15，5.5）∴ ⎩⎨⎧=+=.5.52258c a c∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8901c a∴ y ＝2901x -＋8． 又 AC AD ＝41且AD ＝5.5， ∴ AC ＝5.5×4＝22（米）．∴ CC ′＝2C ＝2×（OA ＋AC ）＝2×（15＋22）＝74（米）．∴ CC ′的长是74米．（2）∵ BC EB ＝41，BE ＝4， ∴ BC ＝16．∴ AB ＝AC －BC ＝22－16＝6（米）．A ′B ′＝AB ＝6（米）．（3）此大型货车可以从OA （OA ′）区域安全通过．在y ＝2901x -＋8中，当x ＝4时，y ＝－901×16＋8＝45377，而 45377－（7＋0.4）＝4519＞0， ∴ 可以从OA 区域安全通过． 21．（8分）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象抛物线G 经过（－5，0），（0，25），（1，6）三点，直线l 的解析式为y ＝2 x －3．（1）求抛物线G 的函数解析式；（2）求证抛物线G 与直线l 无公共点；（3）若与l 平行的直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点P ，求P 点的坐标．【分析】（1）略；（2）要证抛物线G 与直线l 无公共点，就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；（3）直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标．【解】（1）∵ 抛物线G 通过（－5，0），（0，25），（1，6）三点， ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==--=cb ac c b a 6255250， 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.25321c b a∴ 抛物线G 的解析式为y ＝21x 2＋3 x ＋25． （2）由⎪⎩⎪⎨⎧++=-=25321322x x y x y ， 消去y ，得21x 2＋x ＋211＝0， ∵ ?＝12－4×21×211＝－10＜0， ∴ 方程无实根，即抛物线G 与直线l 无公共点．（3）由⎪⎩⎪⎨⎧++=+=2532122x x y m x y ，消去y ，得 21x 2＋x ＋25－m ＝0． ① ∵ 抛物线G 与直线y ＝2 x ＋m 只有一个公共点P ，∴ ??＝12－4×21×（25－m ）＝0． 解得m ＝2． 把m ＝2代入方程①，解得x ＝－1． 把x ＝－1代入y ＝21x 2＋3 x ＋25，得y ＝0． ∴ P （－1，0）．【点评】本题综合运用了二次函数解析式的求法．抛物线与直线的交点等知识，其关键是把函数问题灵活转化为方程知识求解．。