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第六章 定积分的应用
o
x
x dx
x
图6-3-3
10
小矩形片的压力元素为 dP 2x R2 x2dx
端面上所受的压力
P
R
0
2x
R2 x2dx
R
0
R2 x2d(R2 x2)
2 3
R2
x2
3
R 0
2
3
R3.
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例 5 将直角边各为a 及2a 的直角三角形薄板
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例 6 有一长度为l 、线密度为 的均匀细棒，
在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为m 的质点 M ，计算该棒对质点M 的引力．
解 建立坐标系如图
ly
取y为积分变量
y
l 2
,
l 2
,
取任一小区间[ y, y dy]
2 y dy
yr
o a •M
x
将典型小段近似看成质点
x2 2
5 0
3462 (千焦)．
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6
例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻
力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功
相等，问第 n次锤击时又将铁钉击入多少？
解 设木板对铁钉的阻力为 f ( x) kx,
第一次锤击时所作的功为
w1
1
0
f
( x)dx
k 2
,
设n次击入的总深度为 h厘米
n次锤击所作的总功为
h
wh 0 f ( x)dx.
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7
wh
h
0
kxdx
kh2 ,
2
依题意知，每次锤击所作的功相等．
wh nw1
kh2 n k , 22
n次击入的总深度为 h n,
第n次击入的深度为 n n 1.
19
练习题答案
一、800 ln 2(焦耳).
二、
25
kc
2 3
a
7
3 (其中
k
为比例常数)
.
7
三、14373(千牛) .
作业
P291-292 1；2；4；6；9.
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思考题解答
该球面所受的总压力方向向上（下半球 面所受的压力大于上半球面），其值为该球 排开水的重量，即球的体积，也就是它在水 中受到的浮力．因此该球面所受的总压力与 球浸没的深度无关．
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练习题
一、直径为20 厘米，高为80 厘米的圆柱体内充满压强 为10牛厘米3 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽 体积缩小一半，问需要作多少功？
,
由对称性知，引力在铅直方向分力为 Fy 0.
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四、小结
利用“微元法”思想求变力作功、 水压力和引力等物理问题．
（注意熟悉相关的物理知识）
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思考题
一球完全浸没水中，问该球面所受的总 压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总 压力与它在水中受到的浮力有何关系？
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二、水压力
由物理学知道，在水深为h处的压强为
p h，这里 是水的比重．如果有一面积为
A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平 板一侧所受的水压力为 P p A．
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同
的点处压强p 不相等，平板一侧所受的水压力
就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思 想．
功元素
dw
kq r2
dr,
所求功为 w
b
a
krq2 dr
kq
1b r a
kq
1 a
1 b
.
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
w
a
krq2 dr
kq
1 r a
kq a
.
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4
例 2 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？
对它的作用力的大小为
F
q k r2
（k
是常数），当
这个单位正电荷在电场中从 r a 处沿r 轴移动
到 r b 处时，计算电场力 F 对它所作的功．
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3
解 取r 为积分变量， r [a,b],
q
•o
a•
1
•r•
• r
•
• dr
•b
r
图6-3-1
取任一小区间[r, r dr],
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例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为R ，水的比重为 ，计算桶的一端面
上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0, R]
取任一小区间[ x, x dx]
小矩形片上各处的压强近
似相等 p x,
小矩形片的面积为 2 R2 x2dx.
垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水 面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边 长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图 面积微元 2(a x)dx,
2a
o 2a
a
dP ( x 2a) 2(a x) 1dx
x
P
a
2( x
2a)(a
x)dx
7
a3.
图6-3-4
0
3
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三、引力
由物理学知道，质量分别为m1 , m2 相距为
r 的两个质点间的引力的大小为F
k
m1m2 r2
，
其中k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的
连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，
那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化
的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，
就不能用此公式计算．
二、一物体按规律x c t 3 作直线运动，媒质的阻力与 速度的平方成正比，计算物体由 x 0 移至x a 时，克服媒质阻力所作的功 .
三、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10 米和 6 米，高为20 米，较长的底边与水面相齐.计算闸门 的一侧所受的水压力 .
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解 建立坐标系如图
o
x
x dx
5
x
图6-3-2
取x为积分变量， x [0,5]
取任一小区间[ x, x dx],
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这一薄层水的重力为
o
x
9.8 32 dx
x dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
5
x
图6-3-2
5
w 0 88.2 x dx
88.2
l 2
小段的质量为 dy,
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图6-3-5
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小段与质点的距离为 r a2 y2 ,
引力
mdy
F k a2 y2 ,
水平方向的分力元素
amdy
dFx
k (a2
y
2
)
3 2
,Fxຫໍສະໝຸດ l 2l 2k
amdy
(a2 y2 )
3 2
2kml
a(4a 2
l
2
)
1 2
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
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例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为r 的地方，那么电场
第三节
定积分在物理学上的应用
一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力 四、小结
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第六章 定积分的应用
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一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离s 时，力F 对物体所作的功为 W F s.