1.7.2
定积分在物理中的应用
课前预习导学
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学习目标 1.能够利用定积分求做变速直 线运动的物体的位移和路程; 2.学会利用定积分求变力做功问 题; 3.感受定积分在物理中的应用,加 深对定积分的认识. 重点难点 重点:用定积分求做变速直 线运动的物体的位移和路程; 难点:用定积分求变力做功问题.
������ ������
F(x)dx 即可求出变力 F(x)所做的功.
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课堂合作探究
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问题导学
一、求变速直线运动的路程 活动与探究 1 一质点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3(m/s)运动, 求点在 t=4 s 时的位置及经过的路程. 思路分析:因为位置决定于位移,所以它是 v(t)在[0,4]上的定积 分,而路程是位移的绝对值之和,所以需要判断在[0,4]上,哪些时间段 的位移为负.
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二、求变力做功 活动与探究 2 由胡克定律知,把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比, 现知 2 N 的力能使一个弹簧伸长 3 cm,试求要把弹簧拉伸 0.4 m 所做 的功. 思路分析:先根据已知条件求出比例系数 k,得到变力 F(x)与伸 长量 x 的关系式,然后再用定积分求出功 W.
v(t)dt; v(t)dt;
������ ������
������ ������
(3)若在区间[a,c]上 v(t)≥0,在区间[c,b]上 v(t)<0,则 s=
������ ������
v(t)dt-
v(t)dt.
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2.变力做功 (1)恒力 F 的做功公式 一物体在恒力 F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与 F 相同的方向移动了 s(单位:m),则力 F 所做的功为 W=Fs. (2)变力 F(x)的做功公式 如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F(x) 相同的方向从 x=a 移动到 x=b(a<b),那么变力 F(x)所做的功为
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预习导引
1.变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即 s=
������ ������
v(t)dt.
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预习交流 1
思考:利用定积分求变速直线运动物体的路程和位移时,如何区 分位移和路程? 提示:路程是位移的绝对值和,从时刻 t=a 到时刻 t=b 所经过的 路程: (1)若 v(t)≥0,s= (2)若 v(t)≤0,s=������ ������
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当堂检测
1.物体以速度 v(t)=3t2-2t+3 做直线运动,它在 t=0 到 t=3 这段时间内 的位移是( ) A.9 B.18 C.27 D.36 解析:所求位移 s= 答案:C
3 0
v(t)dt=
3 0
(3t2-2t+3)dt=(t3-t2+3t)|3 =27. 0
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2.物体以速度 v(t)=2-t 做直线运动,则它在 t=1 到 t=3 这段时间的路 程为( ) A.0 B.1
1 0
C.������ F(x)dx=
1 0
1
D.e-1
解析:所做的功 W= 答案:B
(1+ex)dx=(x+ex)|1 =e. 0
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4.如果 1 N 力能拉长弹簧 1 cm,为了将弹簧拉长 6 cm,所耗费的功 为 . 解析:设 F(x)=kx,当 F=1 N 时,x=0.01 m, ∴ k=0.01=100,即 F(x)=100x,于是拉长 6 cm 所耗费的功为 W=
0 .1 0 .1 4 900xdx= 2 x2|0 =24.5(J). 0
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F(x)
98
4 900
答案:A
2.在原点 O 有一个带电量为+q 的点电荷,它所产生的电场对周 围电荷有作用力.现有一个单位正电荷从距离为 a 处沿着射线方向 移至距 O 点为 b(a<b)的地方,求电场力做的功. 电场力 F = k· x2 (k 为常数) 解:取电荷移动的射线方向为 x 轴正方向,那么电场力为 F=k·x2 (k 为常数),这是一个变力,在[x,x+Δx]上,显然,W= x2 ·Δx, ∴ W=
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解:在 t=4 s 时该点的位移为
4 0
(t -4t+3)dt=
2
1 3 2 t 2t 3
+ 3t
4
|4 0
=
4 (m). 3
即在 t=4 s 时该点距出发点3 m. 又∵ v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3), ∴ 在区间[0,1]及[3,4]上的 v(t)≥0, 在区间[1,3]上,v(t)≤0. ∴ 在 t=4 s 时的路程为 s= =
16
因此将弹簧拉长 0.4 m 所做的功为 3 J.
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迁移与应用 1.已知弹簧拉长 0.02 m,需要 98 N 的力,则把弹簧拉长到 0.1 m 所做的功为( ) A.24.5 J B.23.5 J C.22.5 J D.25.0 J 解析:∵ F(x)=kx, ∴ k= x = 0.02=4 900. ∴ F(x)=4 900x. 由变力做功公式,得 W=
1 0
(t2-4t+3)dt+ (t -4t+3)dt2
3 2 ( ������ -4t 1
2
+ 3)������t +
4 3
4 3
(t2-4t+3)dtFra bibliotek1 0
3 1
(t -4t+3)dt+
(t2-4t+3)dt
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=4(m).
迁移与应用 若某一物体以速度 v(t)=4-t2 做直线运动,求它在 t=1 到 t=4 这段 时间内的路程. 解:当 1≤t≤2 时,v(t)=4-t2≥0; 当 2≤t≤4 时,v(t)≤0, ∴ 物体在 t=1 到 t=4 这段时间内的路程是 s= =
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解:由胡克定律知拉长弹簧所需的力 F(x)=kx,其中 x 为伸长量. ∴ 2=0.03k,得 k=
200 (N/m). 3
于是 F(x)= 3 x. 故将弹簧拉长 0.4 m 所做的功为 W=
0.4 200 100 2 0.4 x d x= x |0 0 3 3
200
= 3 (J).
16
������ ������
F(x)dx.
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预习交流 2
思考:求变力做功问题的关键是什么? 提示:(1)求变力做功,要根据物理学的实际意义,求出变力 F 的表 达式,这是求功的关键. (2)由功的物理意义知,物体在变力 F(x)的作用下,沿力 F(x)的方 向做直线运动,使物体从 x=a 移动到 x=b(a<b).因此,求功之前还应求 出位移的起始位置与终止位置. (3)根据变力做功公式 W=
������ kq dx=kq ������ x2
q
q
kq
1 -x
1 1 b |a =kq a - b
.
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由于力 F 的大小随物体的位置变化而变化,因此将其记为 F(x),F(x)在[a,b]上所做的功 W=
������ ������
F(x)dx.要解决好变力做功问题,必
须熟悉相关的物理知识,正确写出被积函数.
0.06 0
1
F(x)dx=
0.06 0
.06 100xdx=50x2|0 =0.18(J). 0
答案:0.18 J
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5.质点做直线运动,其速度 v(t)=t2-2t+1(单位:m/s).则它在第 2 秒内所 走的路程为 . 解析:由于 v(t)=t2-2t+1≥0,因此它在第 2 秒内所走的路程为
1 C. 2 3 D. 2
解析:当 t∈[1,2]时 v(t)≥0,t∈[2,3]时 v(t)≤0,故路程为
3 1 2 1 3 2
|2-t|dt=
|(2-t)|dt+
(t-2)dt=1.
答案:B
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3.做直线运动的质点在任意位置 x 处,所受的力 F(x)=1+ex,则质点沿 着与 F(x)相同的方向,从点 x1=0 处运动到点 x2=1 处,力 F(x)所做的功 是( ) A.1+e B.e
2 1 2 1
s=
v(t)dt= m
(t -2t+1)dt=
2
1 3 2 t -t 3
+t
2 |1
=
1 (m). 3
1 答案:3
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2 1
v(t)dt+ (4-t )dt1
2
4 v(t) ������t 2 4 2
2 1
(4-t2)dt
1 37
2 = 4t- 3 t 3 |1 − 4t- 3 t 3 |4 = 3. 2
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物体做变速直线运动的速度 v,等于加速度函数 a=a(t)在时间 [a,b]上的定积分;物体做变速直线运动经过的位移 s,等于其速度函 数 v=v(t)在时间区间[a,b]上的定积分.用定积分解决简单的物理问题 时,关键是要结合物理学中的相关内容,将物理意义转化为用定积分 解决.