x
w 88.2 x dx
0
5
x 88.2 3462 (千焦)． 2 0
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2 5
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例3 一圆柱形的贮水桶高为5m, 底圆半径为3m, 桶内盛满 了水. 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？ 解 作x轴如图. 在区间[0, 5]上点x处任取一薄层水, 其的高度为dx. 因为这薄层水的重力为9.832dx, 所以把这薄层水吸出桶外所需作的功 近似为 dW 9.832xdx 88.2xdx, 此即功元素. 于是所求的功为
解 在 r 轴上, 当单位正电荷从 r 移动到 r+dr 时, q 电场力对它所作的功近似为 k 2 dr , r
提示： 根据物理学, 在电量为+q的点电荷所产生的电场中, 距离 点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为 q F k 2 (k 是常数). r Jlin Institute of Chemical Technology
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解 建立坐标系如图
取x为积分变量， x [0,5]
取任一小区间[ x , x dx ],
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o
x
x dx
5
x
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这一薄层水的重力为
9.8 32 dx
o
x
x dx
5
功元素为 dw 88.2 x dx,
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三、引力
m1 m 2 r 的两个质点间的引力的大小为F k ， 2 r 其中k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的
连线方向． 由物理学知道，质量分别为m1 , m 2 相距为
如果要计算一根细棒对一个质点的引力， 那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化 的，且各点对该质点的引力方向也是变化的， 就不能用此公式计算．
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一、变力沿直线所作的功
例1 电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处, 它所产 生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从ra处移动到rb(a<b) 处, 求电场力对单位正电荷所作的功.
解 在 r 轴上, 当单位正电荷从 r 移动到 r+dr 时, q 电场力对它所作的功近似为 k 2 dr , r q . 即功元素为 dW k 2 dr r 于是所求的功为
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同 的点处压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思 想．
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例4 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水. 设桶的 底半径为R, 水的比重为, 计算桶的一个端面上所受的压力.
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例5 求长度为l、线密度为的均匀细直棒对其中垂线上 距棒a单位的质量为m的质点M的引力. 解 取坐标系如图. 由对称性知,
引力在垂直方向上的分量为零.
在y点处取长为dy的一小段, 得水平方向上的引力元素 amdy mdy a G dFx G 2 2 2 2 3/ 2 . 2 2 (a y ) a y a y 于是引力在水平方向的分量为 l 2Gml amdy 1 2 Fx l G 2 2 3/ 2 . 2 2 a (a y ) 4a l 2
W 0 88.2xdx
2 x 25 88.2[ ]5 88 . 2 (kj). 0 2 2
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二、水压力
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为 p h ，这里 是水的比重．如果有一面积为 A 的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平 板一侧所受的水压力为 P p A．
W a
b kq
1]b kq( 1 1 ) dr kq [ . a 2 r a b r
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例 2 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水 . 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？
§6.3 定积分在物理学上的应用
ห้องสมุดไป่ตู้一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力
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一、变力沿直线所作的功
例1 电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处, 它所产 生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从ra处移动到rb(a<b) 处, 求电场力对单位正电荷所作的功.
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四、总结
利用“微元法”思想求变力作功、水 压力和引力等物理问题． （注意熟悉相关的物理知识）
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解 取坐标系如图.
在水深x处于圆片上取一窄条, 其宽为dx,
得压力元素为 dP 2x R 2 x 2 dx . 桶的一个端面上所受的压力为
P 0 2 x R2 x2 dx
3 2 R 2r 3 [ (R 2 x2 ) 2 ]0 R . 3 3
R
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