绝密★启用前2020年山东省济南市天桥区中考数学模拟试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用2B铅笔填涂一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．3的相反数是（）A．﹣3B．3C．D．﹣2．下列大小相同5个正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）A．B．C．D．3．将12480用科学记数法表示应为（）A．12.48×103B．0.1248×105C．1.248×104D．1.248×103 4．如图，a∥b，以直线b上两点A和B为顶点的Rt△ABC（其中∠C＝90°）与直线a相交，若∠1＝30°，则∠ABC的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．下列各式中计算正确的是（）A．（x+y）2＝x2+y2B．（3x）2＝6x2C．（x3）2＝x6D．a2+a2＝a46．下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．方程2x2﹣5x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．两根异号8．在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为（）A．18B．12C．9D．249．下列命题正确的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形10．已知函数y＝的图象如图，当x≥﹣1时，y的取值范围是（）A．y＜﹣1B．y≤﹣1C．y≤﹣1或y＞0D．y＜﹣1或y≥0 11．已知菱形OABC在下面直角坐标系中的位置如图所示，点A（4，0），∠COA＝60°，则点B的坐标为（）A．（4+2，2）B．（6，2）C．（4+2，2）D．（6，2）12．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，4），B（2，1），直线AB与x轴和y轴分别交M，N，若抛物线y＝x2﹣bx+2与直线AB有两个不同的交点，其中一个交点在线段AN上（包含A，N两个端点），另一个交点在线段BM上（包含B，M两个端点），则b 的取值范围是（）A．1≤b≤B．b≤1或b≥C．≤b≤D．b≤或b≥二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．分解因式：a2﹣2a+1＝．14．若一组数据2，3，x，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为．15．如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为l的正方形，点O，A，B均为格点，则的长等于．16．若代数式与的值相等，则x＝．17．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是．18．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M 不与点B，C重合），过点C作CN⊥DM交AB于点N，连结OM、ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②ON＝OM；③ON⊥OM；④若AB＝2，则S的最小△OMN 值是1；⑤AN2+CM2＝MN2．其中正确结论是；（只填序号）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2019）0﹣2sin30°+（）﹣120．（6分）解不等式组21．（6分）如图，已知E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．求证：BE＝DF．22．（8分）某校为表彰在美术展览活动中获奖的同学，老师决定购买一些水笔和颜料盒作为奖品，请你根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）求出每个颜料盒、每支水笔各多少元？（2）若学校购买10个颜料盒，6支水笔，共需多少元？23．（8分）如图，点A是⊙O直径BD延长线上的点，AC与⊙O相切于点C，AC＝BC，BE⊥AC，交AC延长线于点E．（1）求∠A的度数；（2）若⊙O的半径为2，求BE的长．24．（10分）2017年9月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读，某校对A 《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：（1）本次一共调查了名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．25．（10分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A，且A点的横坐标为2．（1）求反比例函数的表达式；（2）若射线OA上有点P，且PA＝2OA，过点P作PM与x轴垂直，垂足为M，交反比例函数图象于点B，连接AB，OB，请求出△OAB的面积；（3）定义：横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．在（2）的条件下，请探究边PA、PB与反比例函数围成的区域内（不包括边界）“整点”的个数．26．（12分）如图1，△ABC和△DEC均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，连接BE，AD，两条线段所在的直线交于点P．（1）线段BE与AD有何数量关系和位置关系，请说明理由．（2）若已知BC＝12，DC＝5，△DEC绕点C顺时针旋转，①如图2，当点D恰好落在BC的延长线时，求AP的长；②在旋转一周的过程中，设△PAB的面积为S，求S的最值．27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）过点A（﹣1，0），B（4，0），与y 轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴正半轴上存在点E，使得△BCE是等腰三角形，请求出点E的坐标；（3）如图2，点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【分析】依据相反数的定义回答即可．【解答】解：3的相反数是﹣3．故选：A．【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．【解答】解：从上边看第一列是2个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列式1个小正方形，如图：故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意：从上边看得到的图形是俯视图．3．【分析】科学记数法是把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．【解答】解：12480＝1.248×104，故选：C．【点评】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法方法是解题的关键．4．【分析】依据a∥b，∠1＝30°，即可得到∠A＝∠1＝30°，再根据∠C＝90°，即可得出∠ABC＝90°﹣∠A＝60°．【解答】解：∵a∥b，∠1＝30°，∴∠A＝∠1＝30°，又∵∠C＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．5．【分析】根据完全平方公式对A进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对B、C进行判断；根据合并同类项对D进行判断．【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以A选项错误；B、（3x）2＝9x2，所以B选项错误；C、（x3）2＝x6，所以B选项正确；D、a2+a2＝2a2，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了合并同类项以及幂的乘方与积的乘方．6．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．【分析】由方程的系数结合根的判别式可得出△＝1＞0，由此即可得出原方程有两个不相等的实数根，此题得解．【解答】解：∵△＝（﹣5）2﹣4×2×3＝1＞0，∴方程2x2﹣5x+3＝0有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．8．【分析】首先设黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解此分式方程即可求得答案．【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解得：x＝12，经检验：x＝12是原分式方程的解；∴黄球的个数为12．故选：B．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．9．【分析】直接利用平行四边形以及菱形、矩形、正方形的判定方法分析得出答案．【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形，错误；B、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C、对角线相等的四边形是矩形，错误；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握平行四边形以及菱形、矩形、正方形的判定方法是解题关键．10．【分析】根据反比例函数的性质，再结合函数的图象即可解答本题．【解答】解：根据反比例函数的性质和图象显示可知：此函数为减函数，x≥﹣1时，在第三象限内y的取值范围是y≤﹣1；在第一象限内y的取值范围是y＞0．故选：C．【点评】主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．11．【分析】过点B作BD⊥x轴于D，根据菱形的性质可得AB＝OA，AB∥OC，根据两直线平行，同位角相等可得∠BAD＝∠AOC，然后求出BD，再利用勾股定理列式求出AD，从而得到OD，最后写出点B的坐标即可．【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，∵四边形OABC是菱形，∴AB＝OA＝4，AB∥OC，∴∠BAD＝∠AOC，∵∠COA＝60°，∴∠BAD＝60°，BD＝2，由勾股定理得，AD＝2，∴OD＝OA+AD＝4+2＝6，∴点B的坐标为（6，2）．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．12．【分析】首先由已知求出直线AB的解析式，进而确定M，N点坐标；然后结合函数图象与直线交点在AN、BM上，讨论抛物线经过线段端点A、B、M的特殊情况即可．【解答】解：∵已知点A（﹣1，4），B（2，1），∴设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0），将点A（﹣1，4），B（2，1）代入表达式，则有：，解得：，∴y＝﹣x+3．∴M（3，0），N（0，3），∵抛物线y＝x2﹣bx+2必过点（0，2），∴当抛物线y＝x2﹣bx+2经过点A（﹣1，4）时，b＝1，∴抛物线y＝x2﹣bx+2与直线y＝﹣x+3交点在线段AN上时，b≥1，∴当抛物线y＝x2﹣bx+2与BM相交时，只需考虑抛物线过线段BM端点时即可．当抛物线y＝x2﹣bx+2经过B（2，1）时，b＝，当抛物线y＝x2﹣bx+2经过M（3，0）时，b＝，∴≤b≤．综上所述，≤b≤．故选：C．【点评】本题考查了一次函数解析式的求法；抛物线运动时与直线相交的连续性．本题是定直线，抛物线运动，所以在解题时要抓住特殊位置，进而找到解题突破口．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．【分析】观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，即可把原式化为积的形式．【解答】解：a2﹣2a+1＝a2﹣2×1×a+12＝（a﹣1）2．故答案为：（a﹣1）2．【点评】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．14．【分析】根据众数的定义可得x的值，再依据中位数的定义即可得答案．【解答】解：∵数据2，3，x，5，7的众数为7，∴x＝7，把这组数据从小到大排列为：2、3、5、7、7，则中位数为5；故答案为：5．【点评】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．15．【分析】证明△ACO≌△ODB，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB ＝90°，根据勾股定理求出OA，根据弧长公式计算，得到答案．【解答】解：在△ACO和△ODB中，，∴△ACO≌△ODB（SAS）∴∠AOC＝∠OBD，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，即∠AOB＝90°，由勾股定理得，OA＝OB＝＝，∴的长＝＝π，故答案为：π．【点评】本题考查的是弧长的计算、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握弧长公式是解题的关键．16．【分析】由已知条件：代数式与的值相等，可以得出方程＝，解方程即可．【解答】解：根据题意得：＝，去分母得：6x＝4（x+2），移项合并同类项得：2x＝8，解得：x＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了解分式方程，解答本题的关键在于根据题意列出方程，解方程时注意按步骤进行．17．【分析】根据轴对称做最短路线得出AE＝B′E，进而得出B′O＝C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．【解答】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE＝4，则B′E＝4，即B′E＝AE，∵C′O∥AE，∴B′O＝C′O＝3，∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．故答案为（0，3）．【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键．18．【分析】①由正方形的性质得出CD＝BC，∠BCD＝90°，证出∠BCN＝∠CDM，由ASA即可得出结论；②由全等三角形的性质得出CM＝BN，由正方形的性质得出∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，由SAS证得△OCM≌△OBN（SAS）即可得出结论；③由△OCM≌△OBN，得出∠COM＝∠BON，则∠BOM+∠COM＝∠BOM+∠BON，即可得出结论；④由AB＝2，得出S＝4，由△OCM≌△OBN得出四边形BMON的面积＝△BOC正方形ABCD的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，推出△MNB的面积有最大值即可得出结论；⑤由CM＝BN，BM＝AN，由勾股定理即可得出结论．【解答】解：①∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠BCN+∠DCN＝90°，∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN＝90°，∴∠BCN＝∠CDM，在△CNB和△DMC中，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；②∵△CNB≌△DMC，∴CM＝BN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，在△OCM和△OBN中，，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM＝ON，故②正确；③∵△OCM≌△OBN，∴∠COM＝∠BON，∴∠BOM+∠COM＝∠BOM+∠BON，即∠NOM＝∠BOC＝90°，∴ON⊥OM；故③正确；④∵AB＝2，∴S＝4，正方形ABCD∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN＝x＝CM，则BM＝2﹣x，∴△MNB的面积S＝x（2﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，的最小值是1﹣＝，此时S△OMN故④不正确；⑤∵AB＝BC，CM＝BN，∴BM＝AN，在Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，∴AN2+CM2＝MN2，故⑤正确；∴本题正确的结论有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形的面积与正方形面积的计算、二次函数的最值以及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理是解决问题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数和负整数指数幂可以解答本题．【解答】解：|﹣3|+（π﹣2019）0﹣2sin30°+（）﹣1＝3+1﹣2×+3＝3+1﹣1+3＝6．【点评】本题考查幂的乘方、零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．【解答】解：解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2．【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．21．【分析】首先利用平行四边形的性质得出AB＝CD，∠BAC＝∠DCF，进而得出△ABE ≌△CDF（AAS），即可得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCF，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEA＝∠DFC，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ABE ≌△CDF是解题关键．22．【分析】（1）设每个颜料盒x元，每支水笔y元，根据总价＝单价×数量结合图中给定信息，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量，即可求出购买10个颜料盒、6支水笔所需费用．【解答】解：（1）设每个颜料盒x元，每支水笔y元，依题意，得：，解得：．答：每个颜料盒18元，每支水笔15元．（2）18×10+15×6＝270（元）．答：共需270元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．23．【分析】（1）根据弦切角的性质得出∠ACD＝∠DCB，进而得出∠A＝∠ACD，即可得出3∠A＝90°，得到∠A＝30°；（2）证得AB＝3CD＝6，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求得BE＝3．【解答】解：（1）∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠DCB，∵AC＝BC，∴∠A＝∠DBC，∴∠A＝∠ACD，∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2∠A，∵BD是⊙O直径，∴∠DCB＝90°，∴∠CDB+∠DBC＝90°，即3∠A＝90°，∴∠A＝30°；（2）∵∠DBC＝∠A＝30°，∴DB＝2CD＝4，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝3CD＝6，∵BE⊥AC，∴BE＝AB＝3．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理的性质，弦切角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．24．【分析】（1）依据C部分的数据，即可得到本次一共调查的人数；（2）依据总人数以及其余各部分的人数，即可得到B对应的人数；（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次一共调查：15÷30%＝50（人）；故答案为：50；（2）B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7＝12，如图所示：（3）列表：∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，∴P（选中A、B）＝＝．【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，列表与树状图的应用，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解．25．【分析】（1）利用正比例函数y ＝x 可求出点A 的坐标，代入反比例函数y ＝（x ＞0）即可求出表达式；（2）过A 点作AN ⊥OM ，垂足为N ，利用比例可求出M 、B 、P 的坐标，先求出△POM 的面积，减去△BOM 的面积，再按OA ：AP ＝1：2可求出△OAB 的面积；（3）由（2）知，点N 坐标为（2，0），点M 的坐标为（6，0），所以探究边PA 、PB 与反比例函数围成的区域内（不包括边界）“整点”的个数时，只需要对横坐标是3、4、5进行探讨即可．【解答】解：（1）A 点在正比例函数y ＝x 的图象上，当x ＝2时，y ＝3∴点A 的坐标为（2，3）代入反比例函数y ＝（x ＞0）中，得k ＝6故反比例函数的表达式为y ＝（x ＞0）．（2）过A 点作AN ⊥OM ，垂足为N ，则AN ∥BM∴而PA ＝2OA ，∴MN ＝2ON ＝4∴M 点的坐标为（6，0）将x ＝6代入y ＝中，y ＝1，∴点B 的坐标为B （6，1）将x ＝6代入y ＝x 中，y ＝9，∴点P 的坐标为P （6，9）∴S △POM ＝×6×9＝27，S △BOM ＝×6×1＝3∴S △BOP ＝27﹣3＝24，又∵S △BOA ：S △BAP ＝OA ：AP ＝1：2∴S △OAB ＝×24＝8故△OAB 的面积为8．（3）由（2）知，点N坐标为（2，0），点M的坐标为（6，0），若x＝3，对于y＝中，y＝2；对于y＝x中，y＝，包含“整点”（3，3）、（3，4）；若x＝4，对于y＝中，y＝；对于y＝x中，y＝6，包含“整点”（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）；若x＝5，对于y＝中，y＝；对于y＝x中，y＝，包含“整点”（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（5，7）；故以边PA、PB与反比例函数围成的区域内（不包括边界）“整点”的个数为12个．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，抓住图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解决问题的关键．26．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得CD＝CE，AC＝BC，∠BCA＝∠ECD＝90°，可得∠BCE＝∠ACD，由“SAS”可证△BEC≌△ADC，可得BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，由四边形内角和定理可得BE⊥AD；（2）由勾股定理可求BE＝13，AE＝7，通过证明△BEC∽△AEP，可得，即可求AP的长；＝AB×（点P到AB的距离），（3）由∠APB可得点P在以AB为直径的圆上，即S△PAB可求S的最大值．【解答】解：（1）BE＝AD，BE⊥AD理由如下：∵△ABC和△DEC均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°∴CD＝CE，AC＝BC，∠BCA＝∠ECD＝90°∴∠BCE＝∠ACD，且CD＝CE，AC＝BC∴△BEC≌△ADC（SAS）∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC∵∠ADC+∠ECD+∠CEP+∠EPD＝360°∴∠EPD＝90°∴BE⊥AD（2）∵△ABC和△DEC均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∴CD＝CE＝5，AC＝BC＝12，∠BCA＝∠ECD＝90°∴△BEC≌△ADC（SAS），BE＝＝13，AE＝AC﹣CE＝7∴∠CAD＝∠CBP，且∠BEC＝∠AEP∴△BEC∽△AEP∴∴∴AP＝（3）由（1）可知，∠APB＝90°∴点P在以AB为直径的圆上，∵AC＝BC＝12，∠ACB＝90°∴AB＝12＝AB×（点P到AB的距离），且点P到AB的最大距离为AB，∴S△PAB＝AB×AB＝72∴S最大值【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．27．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，结合点B的坐标可得出BC 的长，设点E的坐标为（m，0），分BE＝BC及CE＝BE两种情况考虑：①当BE＝BC 时，由BE＝2结合点B的坐标可得出点E的坐标；②当CE＝BE时，在Rt△OCE中利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点E的坐标；（3）分∠DCM＝2∠ABC及∠CDM＝2∠ABC两种情况考虑：①当∠DCM＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，则CD∥BF，由点B，F的坐标，利用待定系数法可求出直线BF，CD的解析式，联立直线CD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标；②当∠CDM＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，作点N关于BC 的对称点P，连接NP交BC于点Q，利用待定系数法及垂直的两直线一次项系数乘积为﹣1可求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D的横坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）当x＝0时，y＝﹣﹣x2+x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）．∵点B的坐标为（4，0），∴BC＝＝2．设点E的坐标为（m，0），分两种情况考虑（如图3所示）：①当BE＝BC时，m﹣4＝2，∴m＝4+2，∴点E的坐标为（4+2，0）；②当CE＝BE时，m2+22＝（4﹣m）2，解得：m＝，∴点E的坐标为（，0）．（3）分两种情况考虑：①当∠DCM＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，如图4所示．∵OC＝OF，OB⊥CF，∴∠ABC＝∠ABF，∴∠CBF＝2∠ABC．∵∠DCB＝2∠ABC，∴∠DCB＝∠CBF，∴CD∥BF．∵点B（4，0），F（0，﹣2），∴直线BF的解析式为y＝x﹣2，∴直线CD的解析式为y＝x+2．联立直线CD及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：（舍去），，∴点D的坐标为（2，3）；②当∠CDM＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图5所示．设直线CN的解析式为y＝kx+c（k≠0），∵直线BF的解析式为y＝x﹣2，CN⊥BF，∴k＝﹣2．又∵点C（0，2）在直线CN上，∴直线CN的解析式为y＝﹣2x+2．连接直线BF及直线CN成方程组，得：，解得：，∴点N的坐标为（，﹣）．∵点B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．∵NP⊥BC，且点N（，﹣），∴直线NP的解析式为y＝2x﹣．联立直线BC及直线NP成方程组，得：，解得：，∴点Q的坐标为（，）．∵点N（，﹣），点N，P关于BC对称，∴点P的坐标为（，）．∵点C（0，2），P（，），∴直线CP的解析式为y＝x+2．将y＝x+2代入y＝﹣x2+x+2整理，得：11x2﹣29x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴点D的横坐标为．综上所述：存在点D，使得△CDM的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）分BE＝BC及CE＝BE两种情况求出点E的坐标；（3）分∠DCM＝2∠ABC及∠CDM＝2∠ABC两种情况求出点D的横坐标．。