【精选】八年级数学三角形解答题易错题（Word 版 含答案）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动． （1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数．【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45°【解析】【分析】（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1ABE ABO 2∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=︒ ，故PAB MBA 270∠+∠=︒，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知CDE DCE 112.5∠+∠=︒，进而得出结论；（3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】（1）∠AEB 的大小不变，∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，∴∠AOB=90°， ∴OAB OBA 90∠+∠=︒，∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，∴1BAE OAB 2∠=∠，1ABE ABO 2∠=∠， ∴()1BAE ABE OAB ABO 452∠+∠=∠+∠=°， ∴∠AEB=135°；（2）∠CED 的大小不变．如图2，延长AD 、BC 交于点F ．∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，∴90∠=AOB °，∴OAB OBA 90∠+∠=°，∴PAB MBA 270∠+∠=°，∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，∴1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2∠=∠， ∴()1BAD ABC PAB ABM 1352∠+∠=∠+∠=°，F 45∠=°， ∴FDC FCD 135∠+∠=°，∴CDA DCB 225∠+∠=°，∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，∴CDE DCB 112.5∠+∠=°，∴E 67.5∠=°；（3）∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ，∴1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2∠=∠ ， ∴()11E EOQ EAO BOQ BAQ ABO 22∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，∴EAF 90∠=°．在△AEF 中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①EAF 3E ∠=∠，E 30∠=°，ABO 60∠=°；②EAF 3F ∠=∠，E 60∠=°，ABO 120∠=°；③EAF 3E ∠=∠，E 22.5∠=°，ABO 45∠=°；④EAF 3F ∠=∠，E 67.5∠=°，ABO 135∠=°．∴∠ABO 为60°或45°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．2．（问题探究）将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处.（1）如图，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出A ∠与1∠之间的数量关系；（2）如图，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：122A ∠+∠=∠；（3）如图，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，探索1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，并加以证明；（拓展延伸）（4）如图，若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点A '、D 的位置，请你探索此时1∠，2∠，A ∠，D ∠之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由.【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A ；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒.【解析】【分析】（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题，（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题，（3）运用三角形的外角性质即可解决问题，（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）如图，∠1=2∠A ．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A ；∵∠1=∠A+∠EA′D ，∴∠1=2∠A ．（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，∴∠A′+∠A=∠1+∠2，由折叠知识可得∠A=∠A′，∴2∠A=∠1+∠2．（3）如图，∠1=2∠A+∠2理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A ，∠EFA=∠A′+∠2，∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，（4）如图，根据翻折的性质，()3181201∠=-∠，()4181202∠=-∠， ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=︒， ∴()()180118023601122A D ∠+∠+-∠+-∠=︒， 整理得，()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．3．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC 与∠A 、∠B 、∠C 之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX 等于多少度；②如图3，DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE 的度数； ③如图4，∠ABD ，∠ACD 的10等分线相交于点G 1、G 2…、G 9，若∠BDC=133°，∠BG 1C=70°，求∠A 的度数．【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．【解析】【分析】（1）连接AD 并延长至点F ，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B ，∠CDF=∠C+∠CAD ，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C ；（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC ，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX 的度数；②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，即可求出∠DCE 的度数；③由②得∠BG 1C=110（∠ABD+∠ACD ）+∠A ，设∠A 为x°，即可列得110（133-x ）+x=70，求出x 的值即可.【详解】（1）如图（1），连接AD 并延长至点F ，根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=40°，∠BXC=90°，∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；②由（1），可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，∴12（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴12ADC ADB∠=∠，12AEC AEB∠=∠，∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,=45°+40°, =85°；③由②得∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C=70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD=133°-x°∴110（133-x）+x=70，∴13.3-110x+x=70，解得x=63，即∠A的度数为63°.【点睛】此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.4．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．（1）求证：∠BAG=∠BGA；（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B=50°．①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出∠ABM：∠PBM的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①20°；②160°；（3）13或73【解析】【分析】（1）根据AD//BC可知∠GAD=∠BGA，由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD，即可得答案.（2）①根据CF平分∠BCD，∠BCD=90°，可求出∠GCF的度数，由AD//BC可求出∠AEF 和∠DAB的度数，根据三角形外角的性质求出∠AFC的度数即可；②根据三角形外角性质求出即可；（3）根据M点在BP的上面和下面两种情况讨论，分别求出∠PBM和∠ABM 的值即可.【详解】（1）∵AD∥BC，∴∠GAD=∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD，∴∠BAG=∠BGA；（2）①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，∴∠GCF=45°，∵AD∥BC，∠ABC=50°，∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD=65°，∴∠AFC=65°﹣45°=20°；②如图：∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；（3）有两种情况：①当M在BC的下方时，如图：∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，∴∠ABP=（1003）°，∠PBG=（503）°，∵AG∥CH，∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（1003+25）°=（1753）°，∴∠ABM：∠PBM=（1753）°：25°=73；②当M在BC的上方时，如图：同理得：∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=（1003﹣25）°=（253）°，∴∠ABM：∠PBM=（253）°：25°=13；综上，∠ABM：∠PBM的值是13或73．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，熟练掌握平行线性质是解题关键.5．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.【解析】【分析】（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E，在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2，∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3,同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠A+∠C=2∠P【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．6．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ（其中∠X=90°）放置在△ABC上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY，XZ分别经过B，C两点，且直角顶点X在△ABC内部．①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= °；∠XBC+∠XCB= °；②试判断∠A与∠XBA+∠XCA之间存在怎样数量关系？并写出证明过程．（2）如图2，如果直角顶点X在△ABC外部，试判断∠A、∠XBA、∠XCA之间又存在怎样的数量关系？（只写出答案，无需证明）．【答案】（1）①140，90；②∠A+∠XBA+∠XCA=90°，证明见解析；（2）∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°【解析】试题分析：（1）①根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠XBC+∠XCB=180°﹣∠XBC=90°，进而可求出∠ABX+∠ACX 的度数；②根据三角形内角和定义有90°+（∠ABX+∠ACX）+∠A=180°，则可得出结论．（2）由②的解题思路可得：∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°．（1）①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= 140 °；∠XBC+∠XCB= 90 °；②∠A+∠XBA+∠XCA=90°（或等式的变形也可以）证明：∵∠X=90°∴∠XBC+∠XCB=180°－∠X=90°∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+（∠XBA+∠XCA）+（∠XBC+∠XCB）=180°，∴∠A+（∠XBA+∠XCA）=180°－90°=90°，∴∠A=90°－（∠XBA+∠XCA）（2）∠A+（∠XBA－∠XCA） =90°．点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°以及沟通外角和内角的关系．7．根据题意解答：（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D．（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD∴∠1=∠2，∠3=∠4由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①，∠P+∠2=∠4+∠D②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P= 12（∠B+∠D）=26°．①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠P=26゜；②∠P=180°﹣12（∠B+∠D）；③∠P=90°+ 12（∠B+∠D）．【解析】试题分析：（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；②根据四边形的内角和等于360°，可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；③根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．试题解析：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．（2）①∠P=26゜．∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B②，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B③，①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴∠P=12（∠B+∠D）=26°．②如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣12（∠B+∠D）；③如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+ 12（∠B+∠D）．点睛：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．8．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转。