流速 u 0 = 10m / s 。求两种流动迭加后驻点位置，通过驻点的流线，此流
时流线上的流速值。 2 2 解：注意题设流速是自右向左，x 坐标是从左向右为正方向，则
Q ln r 2π Q ψ = −u 0 r sin θ + θ 2π
ห้องสมุดไป่ตู้
线在 Q =
π
和π 时的 y 坐标值及 Q =
π
ϕ = −u 0 r cosθ +
1 ⎛ ∂u
∂u y ⎞
1
由于： ω y =
1 ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ − ⎜ ⎟= 2 ⎝ ∂z ∂x ⎠ 1 ⎛ ∂u y ∂u x ⎞ ⎟= ωz = ⎜ − ∂y ⎟ 2⎜ ⎝ ∂x ⎠
1 (− 2kz − 0) = −kz 2 1 (0 + 2ky ) = ky 2
故为有旋流场。
1
7-3．已知有旋流动的速度场为 u x = 2 y + 3z; u y = 2 z + 3x; u z = 2 x + 3 y 。求：涡量
1 (3 − 2) = 1 2 2 1 (3 − 2) = 1 2 2 3 2
2 2 ω = ωx +ωy + ω z2 =
（1） 涡量
Ω = 2ω = 3
dx
ωx
（2） 涡线方程
=
dy
ωy
=
dz
ωz
dx = dy = dz x= y=z
7-4 位于坐标原点的源流量 Q = 24m 3 / s ，沿水平方向自右向左运动均匀直线流
第7章
理想流体二元不可压缩流动
7-1．设有平面流场， u x = x 2 y + y 2 , u y = x 2 − y 2 x ，求此流场在点(1,2)处的线变
形率、角变形率和旋转角速度。 解：因为 u z = 0 ，是平面流场：
ε xx =
线变形率：
ε yy
∂u x = 2 xy = 2 × 1 × 2 = 4 ∂x ∂u y = = −2 xy = −4 ∂y
1 ⎛ ∂u y ∂u x ⎞ 1 3 ⎜ ⎟ + = 2x − y 2 + x 2 + 2 y = ⎜ ⎟ ∂y ⎠ 2 2 ⎝ ∂x 2
角变形率： ε xy =
[(
) (
)]
旋转角速度： ω z =
1 ⎛ ∂u y ∂u x ⎜ − ∂y 2⎜ ⎝ ∂x
⎞ 1 7 2 2 ⎟ ⎟ = 2 2x − y − x − 2 y = − 2 ⎠
π
2
处的流速值
∂ψ = u 0 sin θ = 10 × 1 = 10m / s ∂r ∂ψ 1 ⎛ Q ⎞ = ⎜ − u 0 r cos θ + ur = ⎟ r∂θ r ⎝ 2π ⎠ Q 24 = −u 0 cos θ + =0− = 6.37 m / s 2πr 2π × 0.6
u1 = uθ2 + u r2 = 10 2 + 6.37 2 = 11.85m / s
3
及涡线方程。 解：
z ⎟ = (3 − 2 ) = − ωx = ⎜ ⎜ 2 ⎝ ∂y 2 ∂z ⎟ ⎠ 2
1 ⎛ ∂u
∂u y ⎞
1
1
ωy = ⎜
1 ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ − ⎟= ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂z 1 ⎛ ∂u y ∂u x ⎞ ⎟ − ωz = ⎜ ⎟= ∂ ∂ 2⎜ x y ⎝ ⎠
(1)驻点位置
uθ = 0
uθ =
∂ϕ = −u 0 sin θ = 0 r∂θ Q ∂ϕ = −u 0 cos θ + r 2πr
∴ θ = 0或π ur = 0 ur =
2
当θ = 0时， cosθ = 1，r =
Q = 0.382m 2πu 0 x0 = 0.382m处。
当θ = π时, cosθ = −1，r < 0不可能，舍弃。 ∴ 唯一的驻点位于y 0 = 0
[(
) (
)]
7-2 ． 圆 管 中 层 流 运 动 ， 取 管 轴 线 与 OX 轴 重 合 时 ， 流 速 特 性 为 ：
u x = um − k ( y 2 + z 2 ) u y = 0, u z = 0
。
其中， u m 为管中心最大速度，问此流场是否有旋？ 解：
z ⎟ = (0 − 0 ) = 0 ωx = ⎜ − ⎜ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎟ ⎠ 2
(2)通过驻点的流线，用驻点数据代入流函数 Q ψ = −u 0 y + θ = 0 2π
(3)上述流线在θ =
π
2
和π处的y坐标值
Q π ⎧ ⎪θ = 2 时, y1 = 4u = 0.6m Qθ ⎪ 0 y= ⎨ Q 2πu 0 ⎪ = 1 .2 m θ = π时，y 2 = ⎪ 2u 0 ⎩ (4)上述流线在θ = uθ = −