北京工业大学2007-2008学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试题学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请将答案写在答题本上并写明题号与详细解题过程。
考试时间120分钟。
考试日期：2008年1月10日一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？二、 （15分）在数 14159263.=π的前800位小数中, 数字93210,,,,, 各出现的次数记录如下检验这10个数字的出现是否是等概率的?（取显著性水平050.=α）三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米）求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数.四、（15分）三个工厂生产某种型号的产品，为评比质量，分别从各厂生产的产品中随机抽取5只作为样品，测得其寿命（小时）如下：在单因素试验方差分析模型下，检验各厂生产的产品的平均寿命有无显著差异？取显著性水平050.=α, 计算结果保留三位小数.五、（15分）设}),({0≥t t N 是强度为3的泊松过程，求（1）})(,)(,)({654321===N N N P ；（2）})(|)({4365==N N P ；（3）求协方差函数),(t s C N ，写出推导过程。
六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，一步转移概率矩阵为 121414201335250P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求}|,,,,{202021054321======X X X X X X P ；（2）求}|{122==+n n X X P ；（3）证明此链具有遍历性（不必求其极限分布）。
七、（15分）设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ππ+=，其中A 与B 相互独立且都是均值为零，方差为2σ的正态随机变量，（1）分别求)(1X 和)(41X 的一维概率密度； （2）问)(t X 是否是平稳随机过程？标准答案（仅供参考）一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取05.0=α）？ 解：按题意，要检验的假设是54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界值2622290250.)(.=t ，由样本值算得382514654.,.==t x因为26222.<t ，故接受假设0H ，即在05.0=α时，即可以认为该日生产的零件的平均重量与正常生产时无显著差异。
2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，)()]()([12123t t t X t X E -=-，则___})(,)(,)({====654321X X X P ,___})(|)({===4365X X P156262321458!26!26!23}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({----=⋅⋅==-=-=-====e e e e X X X X X X P X X X P 解：66218!26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 7、设马尔科夫链的状态空间为{0,1,2}I =，一步转移概率矩阵为：121414201335250P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求其相应的极限分布。
解： （1） 由马尔科夫与齐次性，可得{|}{|}{|}{|}10213243{|}{|}{|}54657621313123 53545452500P P X b X c P X c X b P X a X c P X c X a P X a X c P X c X a P X b X c =========∙======== （2） 因为所求为二步转移概率，先求二步转移概率矩阵 17/309/405/2(2)8/153/101/617/303/2017/90PP P ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭， 故 221{|}[{|}]1/6n n n n P X c X b P X c X b ++======。
北京工业大学2008—2009学年第一学期期末数理统计与随机过程（研）课程试题学号_____________姓名______________成绩_______________注意：试卷共八道大题，请写明详细解题过程。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。
可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2009年1月6日一、食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每隔一段时间需要检查机器工作情况。
现抽得10罐，测得其重量（单位：克）495，510，505，498，503，492，502，512，497，506。
假定重量X服从正态分布N（μ，σ2），试问机器工作是否正常？（取α=0.02）二、对某型号的电缆进行耐压试验，记录了53根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：问以上数据是否在0.10的水平下与正态分布相符？三、威士忌经贮存颜色变深，味道更鲜美，下表给出了威士忌酒的贮存年限及相1、给出威士忌酒浓度和贮存年限的关系。
2、对回归方程进行显著性检验（α=0.05，保留一位小数）。
3、解释回归系数的意义。
4、预测贮存9年的威士忌酒的浓度（点预测）。
四、用四种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机的将它们均分为4组，每组各服一种安眠药，睡眠时间如下所示：相同？五、设{N(t)，t≥0}是强度为λ的泊松过程，分别求：（1）E[N(s)N(t+s)]；（2）0<s<t时，P{N(s)=k|N(t)=n}；六、设{X(t)，t≥0}是具有零均值和协方差C(s,t)的正态过程，则对于任意的非负数s，t和τ，证明：（1）E[X2（t）] =C（t，t）；（2）E[X4（t）] =3 E[X2（t）]；（3）D[X2（t）] =2 C2（t，t）=2 D2[X（t）]；七、A，B，C三家公司决定在某一时间推销一种新产品。
当时它们各拥有1/3的市场，然而一年后，情况发生了如下的变化：（1）A保住40%的顾客，而失去30%给B，失去30%给C；（2）B保住30%的顾客，而失去60%给A，失去10%给C；（3）C保住30%的顾客，而失去60%给A，失去10%给B。
如果这种趋势继续下去，试问第二年底各公司拥有多少市场份额？从长远来看，各公司的市场占有率情况又如何？八、设Z（t）=Xsint+Ycost，其中X，Y为相互独立同分布的随机变量，具有分布列（1（2）讨论Z（t）是否为平稳过程。
北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？三、某公司在为期10年内的年利润表如下：(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.=α）。
四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0=α, 计算结果保留三位小数。
五、某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数{}+∞<≤t t N 0),(是强度λ的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 。
（1）求})(|)({4365==N N P ； （2）求自相关函数),(t s R N ，写出推导过程；（3）求T 的概率分布函数； （4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。
六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间}4,3,2,1{,=I ，一步转移概率矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/12/1004/12/14/1004/14/12/1002/12/1P （1）求}4,2,1,3,2{54321=====X X X X X P ；（2）求}1|3{2==+n n X X P ；（3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。
七、设X(t)是平稳随机过程，若)2cos()()(Θ+=t t X t Y π，其中Θ是在)2,0(π上服从均匀分布的随机变量且与X(t)独立，问)(t Y 是否是平稳随机过程？北京工业大学2011-2012学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
数据结果保留3位小数。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2012年1月10日1.(10分)某种导线要求其电阻的标准差不得超过0.005（Ω），今在生产的一批该种导线中取9根，测得)(007.0Ω=s . 设总体服从正态分布，问从这些样本看这批导线是否合格？（取显著性水平α=0.05）2. (15分)袋中装有8只球,其中红、白球若干.在其中任取3只,记录红球的个数X ,然后放回，再任取3只，记录红球的个数，然后放回。
如此重复进行了112次。
其结果如下：试检验假设:{}.3,2,1,0,38335:383350=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-k k k C C C k X P X H k k 服从超几何分布： 是否成立？（取显著性水平050.=α）3.(15分)下面是对一双因素等重复观测的实际数据分析处理得到的方差分析表：(1) 根据表中已有的信息，完成表中没有数据的“①—⑨”中的数据结果？(2) 因素A 和因素B 各包含几个水平？总共涉及了多少个观测数据？(3) 从这个方差分析表中可以做出那些假设检验？取显著性水平050.=α,结论是什么？分别写出完整的推断依据.4．（1（2） 对回归方程进行显著性检验（取显著性水平α=0.05）；（3） 求y 的置信水平为95％的预测区间,并计算若x=5时y 的95％的预测区间。