目录第1讲简便运算 (2)第2讲长方体的表面积和体积 (4)第3讲圆柱体的表面积 (6)第4讲圆柱和圆锥的体积 (8)第5讲巧求面积（1） (11)第6讲组合图形面积（2） (13)第7讲简易方程 (15)第8讲列方程解应用题（1） (17)第9讲列方程解应用题（2） (19)第10讲比例的应用（1） (21)第11讲比例的应用（2） (23)第12讲巧用比例解行程问题 (25)第13讲巧用比解分数应用题 (27)第14讲图示法解分数应用题 (29)第15讲工程问题 (31)第1讲 简便运算一、夯实基础在实行分数的运算时，能够利用约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩小若干倍，从而简化计算过程；还能够使用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列计算简便。

同学们在实行分数简便运算式，要灵活、巧妙的使用简算方法。

让我们先回忆一下基本的运算法则和性质： 乘法结合律：a×b×c=a×（b×c ）=（a×c ）×b乘法分配律：a×（b ＋c ）=a×b ＋a×c a×（b －c ）=a×b －a×c 拆分：n n )1(1-=11-n －n 1 n k n a )(-=k a （k n -1－n1）二、典型例题例1．（1）2006÷200620072006 （2）9.1×4.8×421÷1.6÷203÷1.3例2．（1）200620042005120062005⨯+-⨯ （2）（972＋792）÷（75＋95）例3．211⨯＋321⨯＋431⨯……＋100991⨯三、熟能生巧1． （1）238÷238239238 （2）3.41×9.9×0.38÷0.19÷3103÷1.1 2．（1）186548362361548362-⨯⨯+ （2）（98＋173＋116）÷（113＋75＋94）3． 211⨯＋321⨯＋431⨯＋541⨯＋651⨯＋761⨯4．（1）123131÷41391 （2）43×2.84÷353÷（121×1.42）×154第2讲长方体的表面积和体积一、夯实基础长方体和正方体六个面的总面积，叫做它们的表面积。

长方体的六个面分为上下、左右、前后三组，每组对面的大小、形状完全相同；正方体的六个面是大小相等的六个正方形。

长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2正方体的表面积=棱长×棱长×6物体占空间的大小，叫做物体的体积。

容积是指所能容纳物体的体积。

一个物体的容积计算方法与体积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再实行计算，容积是从物体内部测量出长度再实行计算。

通常物体的体积要大于容积，当厚度忽略不计时，容积就等于体积。

长方体体积=长×宽×高正方体体积=棱长×棱长×棱长二、典型例题例1．一块长方形铁皮长24厘米，四角剪去边长3厘米的正方形后，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。

求原来长方形铁皮的面积。

例2．如右图，用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长235cm，第二条丝带长445cm，第三条丝带长515cm，每条丝带的接头处的长度均为5cm，求礼盒的体积。

例3．如图（1），一个密封的长方体玻璃缸长15厘米，水深3厘米。

如果把玻璃缸按图（2）放置，里面的水深是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不计）三、熟能生巧1．在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。

2．一个密闭的长方体水箱，长10分米，宽8分米，高6分米，内装3分米深的水，若将长方体的长边竖立起来，水深会是多少分米？3．右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？4有一个棱长是5厘米的正方体木块，它的表面涂上红油漆。

将这个大正方体木块锯成棱长是1厘米的小正方体，散乱为一堆。

在这些小正方体木块中，三面涂红漆的有几块？两面涂红漆、一面涂红漆的各有几块？没有涂上红漆的有几块？第3讲圆柱体的表面积一、夯实基础圆柱体是常见的立体图形。

它的表面是由一个侧面（展开是长方形）和两个相同的圆形底面组成。

圆柱从中间竖切成两个半圆柱后，切面是一个长方形；从中间横切成两个圆柱后，切面是一个圆形。

圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，即S表=S侧＋2S底，S表=2πrh+2πr2二、典型例题例1．把一段长20分米的圆柱形圆木沿底面直径剖成相同的两块，表面积增加了320平方分米，原来这段圆柱形圆木的表面积是多少平方分米？例2．有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图。

圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。

如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？例3．在一棱长为4厘米的正方体的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后它的表面积是多少？三、熟能生巧1．把一个圆柱体的侧面展开，得到一个边长6.28分米的正方形，这个圆柱体的底面周长是多少分米？底面积是多少平方分米？2．一个圆柱体的零件，高20厘米，底面直径是14厘米，零件的上面有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是8厘米，孔深12厘米（见右图）。

如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？3．有一个长方体木块，高20厘米，底面是个长方形，长30厘米，宽15厘米，上面有一个底面直径和高都是10厘米的圆柱形的孔，它的表面积是多少平方厘米？四、拓展演练1．右图是一个零件的直观图。

下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半。

求这个零件的表面积。

2．右图是一顶帽子。

帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。

如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？第4讲 圆柱和圆锥的体积一、夯实基础圆柱的特征：圆柱有一个侧面（展开是长方形）和两个底面（完全相同的圆），圆柱有无数条高（两个底面之间的距离）。

圆柱的侧面积=底面周长×高，S 侧=ch=2πrh ； 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面面积； 圆柱的体积=底面积×高，即V=sh=πr 2h ；圆锥的特征：圆锥的底面是一个圆，侧面（展开是扇形）。

圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

（一个圆锥只有一条高）； 圆锥的体积=31×底面积×高，即V=31sh=31πr 2h ； 圆锥的表面积=扇形面积+底圆面积。

二、典型例题例1．把高10厘米的圆柱体按下图切开，拼成近似的长方体，表面积就增加了60平方厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？例2．把一块长18.84厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体钢锭和一块底面直径是8厘米，高25厘米的圆柱形钢块，熔铸成一个底面半径为8厘米的圆锥形钢块，这个圆锥形钢块的高是多少厘米？例3．下图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计）。

求这个油桶的容积。

三、熟能生巧1．把一个底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块，表面积增加了100平方厘米。

求这个圆柱体的体积。

2．求空心机器零件的体积。

（单位：厘米）3．有一张长方体铁皮（下图），剪下图中两个圆及一块长方形，正好能够做成一个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米？4．一种儿童玩具——陀螺（如下图），上面是圆柱体，下面是圆锥体。

经过测试，只有当圆柱直径3厘米，高4厘米，圆锥的高是圆柱高的34时，才能旋转时稳又快，试问这个陀螺的体积是多大？（保留整立方厘米）5．一个圆柱形水桶，若将高改为原来的一半，底面直径为原来的2倍，可装水40千克，那么原来的水桶可装水多少千克？6．如下图：用一张长82.8厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计）。

7．一个胶水瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积为32.4立方厘米。

当瓶子正放时，瓶内胶水液面高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。

请你算一算，瓶内胶水的体积是多少立方厘米？第5讲巧求面积（1）一、夯实基础小学数学教材中学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等基本图形面积的计算方法。

常用的面积公式如下：正方形边长×边长S=a2长方形长×宽S=ab平行四边形底×高S=ah三角形底×高÷2 S=ah÷2梯形（上底+下底）×高÷2 S=(a+b)h÷2 在实际应用过程中，我们除了掌握切分、割补、做差等一些基本的几何解题思想外，还要掌握等量代换、妙用同底等一些有难度的解题方法。

二、典型例题例1．两个相同的直角三角形如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

例2．如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。

例3．如图,在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点.那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？1．三、熟能生巧如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。

（单位：厘米）2．如图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。

3如图，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。

阴影部分的面积是多少平方厘米？4．如图，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC 的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？第6讲 组合图形面积（2）一、夯实基础不规则图形常由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，计算时常常要变动图形的位置或对图形实行适当的分割、拼补、旋转，使之转化为规则图形的和、差关系，有时要和“容斥原理”合并使用才能解决。

计算圆的周长与面积的主要公式有：（1）圆的周长=π×直径=2π×半径，即：C=πd=2πr (2)中心角为n °的弧的长度=n×π×(半径)÷180，即：l=180n rπ （3）圆的面积=π×(半径) 2，即：S=πr 2(4)中心角为n°的扇形的面积==n×π×(半径) 2÷360，即：S=360n 2r π= l=21lr 二、典型例题例1．如下图（1），在一个边长为4cm 的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积。