x) 可以写成反比例函数全章复习与巩固（基础）【学习目标】1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式 y =k(k ≠ 0) ，能判断一个给定函数是否为反比例函数；x2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数 y =析和解决一些简单的实际问题. 【知识网络】k(k ≠ 0) 的性质，能利用这些性质分x【要点梳理】【高清课堂 406878 反比例函数全章复习 知识要点】 要点一、反比例函数的概念一般地，形如 y =k( k 为常数，k ≠ 0 )的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量， yx是函数，自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数.要点诠释： 在 y = k x中，自变量 x 的取值范围是， y = k(()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数 y =kx中，只有一个待定系数 k ，因此只需要知道一对 x 、y 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数 y = k (k ≠ 0) 的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、x三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与 x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点诠释：③y=和y=-(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称.x-观察反比例函数的图象可得：x和y的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①y=kx(k≠0)的图象是轴对称图形，对称轴为y=x和y=-x两条直线；k②y=(k≠0)的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；xk kx xk注：正比例函数y=k x与反比例函数y=2，1当k⋅k<0时，两图象没有交点；当k⋅k>0时，两图象必有两个交点，且这两1212个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当k>0时，x、y同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，x、y异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大.（2）若点(a，b)在反比例函数y=k的图象上，则点（-a，b）也在此图象上，故反比x例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置k>0，一、三象限；k>0，一、三象限②过双曲线y=(k≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的反比例函数y=n+5过点（2，3）．∴3=,∴n1=．增减性k<0，二、四象限k<0，二、四象限k>0，y随x的增大而增大k>0，在每个象限，y随x的增大而减小k<0，y随x的增大而减小k<0，在每个象限，y随x的增大而增大（4）反比例函数y＝中k的意义①过双曲线y=k(k≠0)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k. xkxk面积为.2要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.【典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式1、已知函数y=(k+2)x k-3是反比例函数，则k的值为.【答案】k=2【解析】根据反比例函数概念，k-3＝-1且k+2≠0，可确定k的值.【总结升华】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是－1，另一个是自变量的系数不等于0.举一反三：【变式】反比例函数y=n+5x图象经过点（2，3），则n的值是（）.A.-2B.-1C.0D.1【答案】D；n+5x2x(类型二、反比例函数的图象及性质2、已知，反比例函数 y = 4 - 2m的图象在每个分支中 y 随 x 的增大而减小，试求x2m -1 的取值范围．【思路点拨】由反比例函数性质知，当k ＞0 时，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，由此可求出 m 的取值范围，进一步可求出 2m -1 的取值范围． 【答案与解析】解：由题意得： 4 - 2m > 0 ，解得 m < 2 ，所以 2m < 4 ，则 2m -1 ＜3．【总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键． 举一反三：【变式】已知反比例函数 y = k - 2，其图象位于第一、第三象限内，则 k 的值可为________x（写出满足条件的一个 k 的值即可）． 【答案】3（满足 k ＞2 即可）.3、在函数 y = - | k |（ k ≠ 0 ， k 为常数）的图象上有三点(－3， y )、(－2， y )、1 2(4， y )，则函数值的大小关系是（）3A ． y < y < y123B ． y < y < y3 2 1C ． y < y < y2 3 1D ． y < y < y3 12【答案】D ； 【解析】∵ | k |＞0，∴ －| k |＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，y 随 x 增大而增大，(－3， y )、(－2， y )在第二象限，(4， y )在第四象限，∴它们1 23的大小关系是： y < y < y ．3 12【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论，本题的点(－3， y 1 )、 －2， y 2 )在双曲线的第二象限的分支上，因为－3＜－2，所以 y 1 < y 2 ，点(4， y 3 )在第四象限，其函数值小于其他两个函数值．举一反三：【变式 1】（2014 春•海口期中）在同一坐标系中，函数 y = 和 y=kx+3（k≠0）的图象大致是（ ）.A. B.C. D.【答案】C；提示：分两种情况讨论：①当k＞0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限；②当k＜0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限．故选C．【高清课堂406878反比例函数全章复习例7】【变式2】已知a＞b,且a≠0,b≠0,a+b≠0,则函数y=ax+b与y=系中的图象不可能是().a+bx在同一坐标【答案】B；提示：因为从B的图像上分析，对于直线来说是a<0,b<0，则a+b<0，对于反比例函数来说，a+b>0，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.4、（2016•齐齐哈尔）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=．'【思路点拨】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值．【答案】6．【解析】解：∵点P（6，3），∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入反比例函数y=得，点A的纵坐标为，点B的横坐标为，即AM=，NB=，∵S四边形OAPB=12，即S矩形OMPN﹣△S OAM﹣△S NBO=12，6×3﹣×6×﹣×3×=12，解得：k=6．故答案为：6．【总结升华】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是根据点A、B的纵横坐标，代入解析式表示出其坐标，然后根据面积公式求解．举一反三：【变式】如图，过反比例函数y=2x(x>0)的图象上任意两点A、B，分别作x轴的垂线，垂足为A、B'，连接OA，OB，AA'与OB的交点为△P，记AOP与梯形P A'B'B的面积分别为S、S，试比较S与S的大小.1212【答案】梯形A'PBB'=S∆BOB'=x y=⨯2=1⎪⎪2⎧4=-3m+n,⎪n=5.⎩0=5m+n,有⎨解得⎨所以y=2x+10．⎩0=-5m+n,n=10.所以所求反比例函数的表达式为y=-12解：∵S∆AOP =S∆AOA'-S∆A'OP，S∆BOB'-S∆A'OP且S111 x y=⨯2=1，S2A A22B B2∴S=S.12类型三、反比例函数与一次函数综合5、已知反比例函数y=k和一次函数y=mx+n的图象的一个交点坐标是(－3，4)，x且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式．【思路点拨】因为点(－3，4)是反比例函数y=kx与一次函数y=mx+n的图象的一个交点，所以把(－3，4)代入y=kx中即可求出反比例函数的表达式．欲求一次函数y=mx+n的表达式，有两个待定未知数m，n，已知一个点(－3，4)，只需再求一个一次函数图象上的点即可．由已知一次函数图象与x轴的交点到原点的距离是5，则这个交点坐标为(－5，0)或(5，0)，分类讨论即可求得一次函数的解析式．【答案与解析】解：因为函数y=kx的图象经过点(－3，4)，所以4=k-3，所以k＝－12．所以反比例函数的表达式是y=-12 x．由题意可知，一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点坐标为(5，0)或(－5，0)，则分两种情况讨论：当直线y=mx+n经过点(－3，4)和(5，0)时，⎧1m=-,有⎨解得⎨⎪⎩2所以y=-15 x+．22当直线y=mx+n经过点(－3，4)和(－5，0)时，⎧4=-3m+n,⎧m=2,⎩15，一次函数的表达式为y=-x+或x22 y=2x+10．∴⎨⎧k + b = 6, ⎩ 6k + b = 1, ⎩b = 7.【总结升华】本题考查待定系数法求函数解析式，解答本题时要注意分两种情况讨论，不能 漏解．举一反三：【变式】如图所示，A 、B 两点在函数 y =m( x > 0) 的图象上．x（1）求 m 的值及直线 AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中 阴影部分（不包括边界）所含格点的个数． 【答案】解：（1）由图象可知，函数 y =m( x > 0) 的图象经过点 A(1，6)，可得 m ＝6．x设直线 AB 的解析式为 y = kx + b ．∵ A(1，6)，B(6，1)两点在函数 y = kx + b 的图象上，⎧k = -1, 解得 ⎨∴ 直线 AB 的解析式为 y = - x + 7 ．（2）题图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是 3． 类型四、反比例函数应用6、（2015•兴化市三模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v （千米/小时）与所用时间 t （小时）的函数关系如图所示，其中 60≤v ≤120．（1）直接写出 v 与 t 的函数关系式；（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20 千米，3 小时 后两车相遇．①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站 A 、B ，它们相距 200 千米，当客车进入 B 加油站时，货车 恰好进入 A 加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与 B 加油站的距离．【答案与解析】解：（1）设函数关系式为v=，∵t=5，v=120，∴k=120×5=600，∴v与t的函数关系式为v=（5≤t≤10）；（2）①依题意，得3（v+v﹣20）=600，解得v=110，经检验，v=110符合题意．当v=110时，v﹣20=90．答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；②当A加油站在甲地和B加油站之间时，110t﹣（600﹣90t）=200，解得t=4，此时110t=110×4=440；当B加油站在甲地和A加油站之间时，110t+200+90t=600，解得t=2，此时110t=110×2=220．答：甲地与B加油站的距离为220或440千米．【总结升华】解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.。