λ
λ
λ + λ2
均匀分布
a +b 2
1 λ
(b − a )
12 1 λ2
2
指数分布
x > 0, else.
( x − µ )2
2σ 2
2 λ2
正态分布
µ
σ2
σ 2 + µ2
3.正态分布概率计算 ⎛b−µ ⎞ ⎛a−µ ⎞ ⑴若 X ∼ N ( µ , σ 2 ) ，则 P ( a < X < b ) = Φ ⎜ ⎟−Φ⎜ ⎟. ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ ⑵若 X ∼ N ( µ , σ 2 ) , Y = aX + b, 则 Y ∼ N ( a µ + b, a 2σ 2 ) . 4.二维连续型随机变量的边缘密度函数 设 ( X , Y ) 为二维连续型随机变量， f ( x, y ) 为其联合密度函数，则边缘密度函数 分别为
X 是总体参数 µ 的极大似然估计；当 µ 已知时，
1 n ( X i − µ ) 2 是 σ 2 的极 ∑ n i =1
大似然估计，当 µ 未知时， ⑶无偏性
1 n ( X i − X )2 是 σ 2 的极大似然估计. ∑ n i =1
ˆ 是 θ 的估计量，且 E θ ˆ = θ ，称 θ ˆ 是 θ 的无偏估计. 若θ 结论
当 X , Y 独立时， E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) . ⑵方差 ①计算公式 ②方差性质
D ( X ) = E ( X 2 ) − E2 ( X ) ;
当 X , Y 独立时， D ( aX + bY ) = a 2 D ( X ) + b2 D ( Y ) .
⑶协方差 设 ( X , Y ) 为二维随机变量，协方差为 cov ( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E ( Y ) , 此时有
当 A, B 互不相容时 ( ⇔ A ∩ B = ∅ )
当 A, B 独立时 ( ⇔ P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) ) ⑵条件概率公式 ⑶乘法公式
P ( A | B) =
P ( AB ) . P ( B)
P ( AB ) = P ( A | B ) P ( A ) .
⑷全概率公式及逆概率公式 设 A1 , A2 ,⋯ , An 为完备事件组， B 为任意一事件，则
二、填充题 1. 设 A, B 为二个随机事件, B ⊂ A, 则A ∪ B = Ω , P( A ∪ B ) = 2. 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个数字, 则 3 个数中不含 1 的概率为 1
3 C4 2 = . 3 C5 5
.
3. 把 3 个不同的球随机地放入 3 个不同的盒中,则出现两个空盒的概率为
5
1 1 1 7. 设 P ( A ) = , P ( B A ) = , P ( A B ) = , 则 P ( A ∪ B ) = 1 ； P ( AB ) = 3 4 3 2 1 3 5 7 ,则常数 c = 37 , , , 16 2c 4c 8c 16c 9. 设 X 服 从 参 数 为 λ 的 泊 松 分 布 ( λ ＞ 0), 且 P ( X = 0 ) = 2 ,E(X2) = 6 .
概率统计复习题
（同济大学浙江学院）
一、知识要点 1.古典概率计算公式 设 Ω 为样本空间， A 为事件，则事件 A 发生的概率为
P ( A) =
概率公式 ⑴和的概率公式
nA ⎛ A ⎞ ⎜≜ ⎟ ⎟. n ⎜ ⎝ Ω⎠
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) . P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) . P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A) P ( B ).
关系
S2 =
n n n 2 2 S n , nS n = ∑ ( X i − X )2 = ∑ X i2 − nX . n −1 i =1 i =1
⑵ χ 2 分布
设 X 1 , X 2 ,⋯ , X n 为独立同分布的随机变量且 X i ∼ N ( 0,1) , ∑ X i2 服从
i =1
n
自由度为 n 的 χ 2 分布. 结论 设 X 1 , X 2 ,⋯ , X n 为独立同分布的随机变量且 X i ∼ N ( 0, σ 2 ) , c ∑ X i2 服从自
()
S 2 是 σ 2 的无偏估计.
⑷四种情况下的单正态总体的区间估计
4
σ σ ⎤ ⎡ ① σ 2 已知时 µ 的区间估计： ⎢ X − u1−α / 2 , X − u1−α / 2 n n⎥ ⎣ ⎦ S S ⎤ ⎡ ② σ 2 未知时 µ 的区间估计： ⎢ X − t1−α / 2 ( n − 1) , X + t1−α / 2 ( n − 1) n n⎥ ⎣ ⎦
n
P ( B ) = ∑ P ( Ai ) P ( B | Ai );
i =1
P ( Ai | B ) =
2. 6 个常用分布和数字特征 名称 分布形式
P( B | Ai ) P ( Ai ) . P (B)
期望
方差
E(X2) p
0 −1
k k P ( X = k ) = Cn p (1 − p ) n− k
p
p (1 − p ) np (1 − p )
二项分布
np
np
1
泊松分布
λ k −λ P(X = k) = e k!
⎧ 1 , a < x < b, ⎪ f ( x) = ⎨b − a ⎪ else. ⎩0, ⎧λ e − λ x , f ( x) = ⎨ ⎩0,
− 1 f ( x) = e 2πσ
其中 a > 0 ,
6
1 要使 P ( X > 1) = ,则 a = 3 16. 设 随 机 变 量
3
. 的 密 度 函 数 为
X
f ( x ) = Ae
− x 2 − 2 x +1
⎟ , E ( X 2 ) = π ⎝ 2⎠
3
E ( X i ) = µ, D ( X i ) = σ 2 , X =
1 n 1 X i , 则 E ( X ) = µ, D ( X ) = σ 2. ∑ n n i =1
②样本方差
S2 =
1 n 1 n 2 2 ( X − X ) , S = ( X i − X ) 2. ∑ ∑ i n n − 1 i =1 n i =1
i =1
E ( X ) = ∫ xf ( x )dx.
−∞
∞
③函数的期望 离散型，设 X 是离散型随机变量， Y = g ( X ) 为随机变量的函数，则
n
E (Y ) = ∑ g ( xi ) pi .
i =1
2
连续，设 X 是连续随机变量， Y = g ( X ) 为随机变量的函数，则
E ( X ) = ∫ g ( x ) f ( x )dx.
n ⎛ ⎞ X i − nµ ∑ ⎜ ⎟ i =1 ⎜ P a< < b ⎟ ≈ Φ (b) − Φ ( a ) . nσ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
即
6.统计量 ⑴样本均值 设 X 1 , X 2 , ⋯ , X n 为独立同分布的随机变量， E ( X i ) = µ , D ( X i ) = σ 2 ,
n ⎡ n ⎤ 2 ( X − µ ) ( X i − µ )2 ⎥ ∑ ⎢∑ i ⎥ ③ µ 已知时 σ 2 的区间估计 ⎢ i =1 2 , i =1 2 χα / 2 ( n ) ⎥ ⎢ χ1−α / 2 ( n ) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
④ µ 未知时 σ 2 的区间估计
n ⎡ n ⎤ 2 ( X − X ) ( X i − X )2 ⎥ ∑ ∑ i ⎢ ⎡ ⎤ nSn2 nSn2 i =1 i =1 ⎢ 2 ⎥=⎢ 2 , 2 , 2 ⎥ ⎢ χ1−α / 2 ( n − 1) χα / 2 ( n − 1) ⎥ ⎣ χ1−α / 2 ( n − 1) χα / 2 ( n − 1) ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y ) ± 2cov ( X , Y ).
设 ( X , Y ) 为二维随机变量，相关系数为 ρ ( X , Y ) = cov ( X , Y ) . σ ( X ) σ (Y )
⑷相关系数
6.中心极限定理 设 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯ 为独立同分布的随机变量， E ( X i ) = µ , D ( X i ) = σ 2 , 则 ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ X i − nµ ⎟ ⎟ = Φ ( x ). lim P ⎜ i =1 n →∞ nσ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
−∞
∞
二维连续型
设 ( X , Y ) 是二维连续型随机变量， f ( x, y ) 是其联合密度函数，
∞ ∞ −∞ −∞
Z = g ( x, y ) 为随机变量的函数，则 E ( Z ) = ∫ dx ∫
④期望性质
f ( x, y ) g ( x, y ) dy.
E ( aX + bY ) = aE ( X ) + bE (Y ) ;
P ( A − B ) = P ( A ) − P ( AB ) = 0.4 ；
0.5 6. 设 , P ( A − B) = 0.2 三 . 个
若 A 与 B 相 互 独 立 , 则 P (B) =
A, B, C
为
随
机
事
件
,
已
知
1 1 P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = , P ( AB ) = P ( BC ) = , P ( AC ) = 0 , 则 A, B, C 至少 有 4 16 一发生的概率 P ( A ∪ B ∪ C ) = 5 , A, B, C 都不发生的概率 P ( ABC ) = 3 . 8 8