工程数学考试题
第一题：第五页 第五题
5.用事件A,B,C 的运算关系表示下列事件。

（1）A 出现，B ，C 都不出现；
（2）A ，B 都出现，C 不出现；
（3）所有三个事件都出现；
（4）三个事件中至少有一个出现；
（5）三个事件都不出现；
（6）不多于一个事件出现；（7）不多于两个事件出现；
（8）三个事件中至少有两个出现。

第二题：第六页 第七题
7.接连进行三次射击，设i A =｛第i 次射击命中｝（i=1，2，3），试用1A ，2A ，3A 表述下列事件。

（1）A=｛前两次至少有一次击中目标｝
（2）B=｛三次射击恰好命中两次｝
（3）C=｛三次射击至少命中两次｝
（4）D=｛三次射击都未命中｝
第三题：第二十九页 例14
例 14 从次品率为p=0.2的一批产品中，有放回抽取5次，每次取一件，分别求抽到的5件恰好有3件次品以及至多有3件次品这两个事件的概率。

第四题：第二十九页 例 15
例 15 某公司生产一批同型号的医疗仪器，产品的80%无需调试即为合格品，而其余20%需进一步调试。

经调试后，其中70%为合格品，30%为次品。

假设每台仪器的生产是相互独立的。

（1）求该批仪器的合格率；
（2）又若从该批仪器中随机地抽取3台，求恰有一台为次品的概率。

第五题：第三十一页 第一题
1.已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B|A ）=0.8，试求P （AB ）及)B A P(。

第六题：第三十三页 第十二题
12.设事件A ，B 相互独立。

证明：A ，B 相互独立，B ,A 相互独立。

第七题：第三十三页 第十五题 15.三个人独立破译一密码，他们能独立破译出的概率分别为0.25，.035，0.4，求此密码被破译出的概率。

第八题：第五十一页 例 19
例 19 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布），（272σN ，且96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。

第九题：第五十四页 第十六题
16.设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨
⎧<<=其他，,0,40,2x x x f 试求： （1）常数A ；
（2）P(0<x<0.5).
第十题：第五十四页 第十七题
17.设随机变量X 的密度函数为+∞<<-∞=-x Ae
x f x ,)(||，求：
（1）系数A ；
（2）P （0<x<0.5).
第十一题：第五十四页 第十八题
18.证明：函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,
0,0,
)(22x x e c x x f c x
（c 为正的常数）可作为某个随机变量X 的密度函数。

第十二题：第五十五页 第二十五题
25.设随机变量X 的分布函数为∞<<-∞+=x x B A x F ,arctan )(，求：
（1）常数A,B ；
（2）P （|x|<1)；
（3）随机变量X 的密度函数。

第十三题：第五十六页 例 1
例 1 设二维随机变量（X,Y)的联合分布函数为),arctan )(arctan (),(y C x B A y x F ++=求函数).,x (,,+∞<<-∞+∞<<-∞y C B A
第十四题：第六十一页 例 5
例 5 试从例1中联合分布函数F(x,y)求关于Y 的边缘分布函数).(),(y F x F y x
第十五题：第六十六页 例10
例 10 试证明例1中的两个随机变量X 与Y 独立。

第十六题：第七十三页 第十二题
12.设二维随机变量（X,Y)的联合密度函数为⎩
⎨⎧>>=+-，其他，,0,0,0,),()43(y x ke y x f y x 求： （1）求常数k ；
（2）分别求关于X 及关于Y 的边缘密度函数；
（3）X 与Y 是否独立，为什么？
第十七题：第七十五页 例 1
例 1 设随机变量X 的分布律为
求以下随机变量的分布律：
（1）X-1；
（2）-2X ；
（3）2
X
第十八题：第九十六页 例12，13 例 12 设随机变量,2
21b 1),,(~5.05.0b a u dx a b a R X u a +==-⎰解得由因此均匀分布变量的中位数与数学期望重合。

事实上，具有对称分布的连续型变量都具有此特点，读者可以对正态分布加以验证。

例 13 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布。

由定义中位数5.0u 是方程
21e
1=--x λ 的解，即
λ2ln 5.0=
u 我们知道λ1
)(=x E ，因此，在指数分布情形，中位数并不等于数学期望。

中位数在社会资料统计中用得很多，例如，
居民收入统计，中位数较数学期望更具有代表性。

当X 为离散型随机变量时也可以定义其中位数，但往往已经不具备“中间位置”这样的含义。

第十九题：第一百零六页 例 25，26
例 25 设一个车间里有400台同类型的及其，每台机器需要用电为Q 瓦。

由于工艺关系，每台机器并不连续开动，开
动的时间只占工作总时间的4
3，问应该供应多少瓦电力才能以99%的概率保证该车间的机器正常工作？这里，假定各台机器的停，开是相互独立的。

例 26 为了测定一台机床的质量，把它分解成75个部件来称量。

假定每个部件的称量误差（单位：Kg ）服从区间（-1，
1）上的均匀分布，且每个部件的称量误差相互独立，试求机床质量的总误差的绝对值不超过10的概率。

第二十题：第一百零九页 第一题
1.
求： )()4();()3();1()2();(12X D X E X
E X E +-）（
第二十一题：第一百一十一页 第十四题
求： .),,cov(),(),(),3(),2(),(),(,y x y x Y D X D XY E Y X E Y E X E ρ-
第二十二题：第一百一十一页 第26，27题
26.设随机变量X ，Y 相互独立，且).2(),2(),1,2(~),1,1(~Y X D Y X E N Y N X ++-求
27.设随机变量X 的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计)5.7|)((|≥-X E X P 的值。

第二十三题：第一百二十八页 第二题
2.（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？
),...,(max )
(6
(614163626)
11X X T X E X T X T X X T =-=-=++=
θ
第二十四题：第一百三十二页 例6，7，10
例 6 设有一批同型号灯管，其寿命（单位：h ）服从参数为λ的指数分布，今随机抽取其中的11只，测得其寿命数据如下：
110，184，145，122，165，143，78，129，62，130，168，
用矩估计法估计λ值。

例 7 设总体有均值u 及方差2σ，今有6个随机样本的观测数据为
-1.20，0.82，0.12，0.45，-0.85，-0.30，
求u ，2
σ的矩估计。

例 10 设的最大似然估计。

未知，求的样本，其中是来自221,,),(*,*,*σσσu u u N X X n 第二十五题：第一百四十页 第一题
1.设n X X *,*,*1是取自总体X 的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计量与最大似然估计量：
（1）;10),,1(~<<p p p B X 未知，
其中 （2）.0),(~>λλλ未知，其中E X。