copula函数
1、Sklar定理
Sklar定理（二元形式）：若H（x,y）是一个具有连续边缘分布的F(x)与G(y)的二元联合分布函数，那么存在唯一的copula函数C使得H（x,y）=C（F(x)，G(y)）。

反之，如果C是一个copula函数，而F,G是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的H函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布函数刚好就是F和G。

Sklar定理告诉我们一件很重要的事情，一个联合分布关于相关性的性质完全由它的copula函数决定，与它的边缘分布没有关系。

在已知H,F,G的情况下，能够算出它们的copula：
C(u,v)=H[F-1(u),G-1(v)]
2、什么是copula函数？
copula函数实际上是一个概率。

假设我们有n个变量（U
1,U
2
,…,U
N
），这n
个变量都定义在[0,1]，copula函数C(u
1,u
2
,…,u
n
)即是P{U
1
<u
1
,U
2
<u
2
,…,U
n
<u
n
}，
（这里的n个变量是相互关联的）。

(1)copula是最全面的相关性
(2)copula可以有尾部相依性
(3)copula定义的C(u
1,u
2
,…,u
n
)=P{U
1
<u
1
,U
2
<u
2
,…,U
n
<u
n
}对应的概率密度函数为
c(u
1,u
2
,…,u
n
)=∂n C(u
1
,u
2
,… ,u
n
)/∂u
1
∂u
2
…∂u
n
，f
i
(x
1
,x
2
,…,x
n
)为联合分布函数
F i (x
1
,x
2
,…,x
n
)= U
i
的概率密度函数，f
i
(x
1
,x
2
,…,x
n
)为U
i
的概率密度函数，则有：
f(x
1
,x
2
,…,x
n
)= c(u
1
,u
2
,…,u
n
)*[ f
1
(x
1
,x
2
,…,x
n
)*…*f
n
(x
1
,x
2
,…,x
n
)]
3、只要满足下面3个条件的函数都是copula函数（以二元为例）
(1)定义域为[0，1]*[0，1]，值域为[0,1],即C：[0，1]*[0，1]->[0，1]
(2)C（u,0）=c(0,v)=0;C(u,1)=u;C(1,v)=v
(3)0≤∂C/∂u≤1；0≤∂C/∂v≤1
4、copula函数的种类
（1）多元正态分布的copula（高斯copula）：（边缘分布是均匀分布的多元正态分布）
（2）多元t分布的copula：t-copula
（3）阿基米德copula（人工构造）
令φ：[0,1]→[0,∞]是一个连续的，严格单调递减的凸函数，且φ(1)=0，其伪逆函数φ[-1] 由下式定义：那么由下式定义的函数C:[0,1]*[0,1]→[0,1]是一个copula，通过寻找合适的函
数φ利用上式所生成的copula都是阿基米德类copula，并称φ为其生成函数，且阿基米德类copula都是对称的，即C(u,v)=C(v,u)。

只要找到合适的生成函数，那么就可以构造出对应的阿基米德类copula。

5、为什么金融风险管理中常用copula？
不同的两个资产会始终同时达到最糟的状况吗？因为有资产相关性的影响，可以使两个资产之间在一定程度上同向变动或反向变动，可能发生对冲，从而减少风险，因此我们需要知道资产之间的相关性，然而金融中的分布，大多都不是
常见的分布，比如股价报酬率的分布、零息债券这种价格有上限的资产，而相关系数是有局限性的，这时对于两个资产只能用copula结合起来。

阿基米德类函数。